Introducción a las funciones con Math Bits

La propuesta didáctica de Math Bits para introducir las funciones en secundaria se basa en la articulación de los diferentes registros y las representaciones de este objeto matemático (tablas, lenguaje verbal, gráficas, expresión algebraica). Además, se pone el acento en los significados y propiedades sin introducir capas de abstracción innecesarias antes de tiempo.

5 de diciembre de 2024

Una función puede interpretarse como un tipo especial de relación entre dos magnitudes, de tal manera que una de ellas —variable dependienteㅡ se obtiene de forma unívoca a partir de la otra —variable independiente—. La regla de definición de una función puede ser un enunciado verbal, una tabla, una gráfica o una expresión algebraica.

Respecto a este enfoque, hay que matizar que en cursos posteriores, se encuentran definiciones más formales del concepto de función, por ejemplo, como una relación entre elementos de dos conjuntos. Asimismo, también hay que tener presente que no todas las relaciones entre magnitudes son de tipo funcional.

En muchos libros de texto el orden de presentación suele ser el siguiente:

Definición del concepto de función
Expresión algebraica de una función
Obtención de una tabla de valores a partir de la expresión algebraica
Elaboración de la gráfica a partir de la tabla de valores

Este orden obvia toda la complejidad del concepto de función, pues enfatiza la regla algebraica sobre todas las demás representaciones y, en particular, sobre la elaboración de gráficas. Desde este enfoque, por ejemplo, se plantean actividades como la colocación —sin reflexión— de puntos en unos ejes de coordenadas. Cuestiones importantes como la localización de máximos y mínimos tienden a trivializarse, al mismo tiempo que se desatienden otras como la identificación de propiedades globales desde los diferentes sistemas de representación.

Funciones en Math Bits: una propuesta informada por la evidencia científica

La unidad Funciones de Math Bits plantea una propuesta similar a la de Swan (1985) y está basada en resultados de investigación en didáctica de la matemática de largo recorrido (Leinhardt, et al., 1990) que han sido recogidos en orientaciones internacionales (NCTM, 2000) y proyectos de prestigio (NRICH, 1997-2024). Se trata, en resumidas cuentas, de invertir el orden «habitual» de presentación para aprender en profundidad la idea de función.

El punto de partida de la unidad es un vídeo introductorio en el que se presentan distintas relaciones funcionales entre magnitudes, que se dan en la vida real. A partir de unas preguntas sobre el vídeo, se movilizan los conocimientos previos sobre este tipo de relaciones y sobre las maneras de representarlas.

Tras la introducción, se trabajan una serie de conceptos fundamentales, a través de la indagación guiada.

En la primera lección Exploramos «Modelos de dron», se introducen los ejes de coordenadas como una manera para representar gráficamente una relación de covariación entre magnitudes u otro tipo de información. Se dedica especial atención a los convenios de representación sobre los ejes.

Observemos que en este tipo de actividades es importante que los ejes no estén numerados.

Todas estas cuestiones se presentan de manera sistemática en la lección Explicamos «Ejes, puntos y gráficas», en la que también se detallan los distintos tipos de variables y de gráficas que se pueden encontrar.

En la segunda lección Exploramos, «De un enunciado a una gráfica», se analizan ejemplos de relaciones entre magnitudes, con especial atención al registro verbal y al registro gráfico.

En primer lugar, se describe con un enunciado una situación relacionada con la recolección de la fruta. Se plantean algunas preguntas para que el alumnado se familiarice con la situación y se le pide que elabore una gráfica cualitativa que represente la relación entre las magnitudes implicadas.

Presentación del Exploramos que articula los registros verbal y gráfico.

Alumnado abordando la tarea. En este paso no es necesario que la producción sea válida.

Para llevar a cabo esta tarea, se toman una serie de decisiones sobre las que vale la pena reflexionar. Para ello, en la siguiente pantalla se plantean preguntas que funcionan a modo de retroalimentación o feedback:

¿Ha de ser una línea continua?
¿Ha de ir “hacia arriba” o “hacia abajo”?
¿Ha de ser una línea recta?
¿Ha de cortar los ejes?

A continuación, se plantean diversas situaciones con otros contextos y gráficas que hay que emparejar y que permiten profundizar en la articulación del registro verbal y el gráfico.

Actividad en la que hay que identificar la gráfica que está describiendo el enunciado en cuestión y argumentar la decisión.

En la tercera lección Exploramos, «De un dibujo a una gráfica», las situaciones se describen por medio de dibujos. Por ejemplo, hay que descubrir la forma de un circuito de coches a partir de la gráfica que representa la velocidad de un coche en función de la distancia recorrida.

Actividad en la que hay que descubrir cuál es el circuito de coches que se corresponde con la gráfica que se presenta.

Además de considerar diferentes registros de representación, las actividades ponen el foco en las propiedades de una función. Por ejemplo, al estudiar el movimiento de una noria, emerge la idea de periodicidad.

En la lección Explicamos, «Representar relaciones entre variables», se revisan las distintas maneras de representar una relación entre dos magnitudes (enunciado, gráfica, tabla y expresión algebraica) y se ofrecen estrategias para pasar de un registro a otro.

La cuarta lección Exploramos, «Biólogos en el Amazonas», tiene un doble propósito. Por un lado, aborda la traducción del registro tabular al registro gráfico a partir de un contexto de recogida de datos en la selva amazónica. Por el otro, distingue un tipo particular de relación entre magnitudes en que, a cada valor de la primera variable, le corresponde un único valor de la segunda variable, es decir, una relación funcional.

Estas ideas se acaban de formalizar en la lección Explicamos, «Concepto de función».

Inicio de la articulación, con etiquetado de ejes, del registro tabular con el gráfico. ¿Tiene sentido esa gráfica? ¿Cómo es el crecimiento que describe?

Por último se introduce la representación algebraica de las funciones. El hecho de dejar el registro algebraico para la última parte de la unidad, permite desligar la idea de función de su expresión algebraica y ayuda a poner el foco en las propiedades de las funciones vistas desde cada representación.

En particular, en la quinta lección Exploramos, «Refrescos de naranja», se analizan las funciones lineales y se establece una conexión entre la pendiente de la gráfica y la constante de proporcionalidad directa. Esto se hace a partir del contexto de la preparación de un refresco de naranja para el que se pueden usar distintas cantidades de zumo y de gaseosa.

La función, en este caso, viene expresada directamente por la gráfica.

Comparando recetas de refrescos. ¿Cuál sabe más a naranja?

En el sexto Exploramos, «Alquiler de bicicletas», se exploran situaciones que se modelizan mediante funciones afines. Es decir, se analizan ejemplos en que las magnitudes no son proporcionales, pero sus variaciones sí lo son. De nuevo, se establecen conexiones entre el registro algebraico y el gráfico, al identificar el coeficiente del término de primer grado con la pendiente de la gráfica y el término independiente con la intersección de la gráfica con el eje de las ordenadas.

Comparación de tarifas que se pueden expresar con funciones afines, desde el registro gráfico.

En la última lección Explicamos, «Expresión algebraica de una función», se ahonda en la representación algebraica de una función, se ofrecen estrategias para la conversión entre registros, se presentan en detalle las funciones lineales y afines y se extienden los ejes de coordenadas para abarcar todos los números racionales.

En resumen, el orden de presentación de los contenidos de la propuesta de Math Bits es el siguiente:

Los ejes como sistema de representación
Estudio de relaciones entre magnitudes en diversas situaciones desde un enunciado, un dibujo, una tabla de valores o la gráfica. Conversión entre representaciones
Definición formal de función
Uso de expresiones algebraicas para describir relaciones. Conversión entre representaciones. Función lineal y función afín. Extensión de los ejes a los racionales

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