Conoce la unidad de Math Bits
«Transformaciones geométricas»

La propuesta didáctica de Math Bits para la enseñanza y aprendizaje de las transformaciones geométricas en secundaria arranca de situaciones intuitivas para el alumnado que permiten conectar con sus conocimientos y experiencias previas.

31 de marzo de 2025

En esta unidad, la secuencia de tareas favorece el razonamiento geométrico, evitando procedimientos mecánicos sin significado. Se centra la atención en ideas importantes, como las diferencias entre igualdad física y geométrica o la descripción y caracterización de transformaciones geométricas. En particular, se busca que el alumnado comprenda cómo ciertas propiedades geométricas permanecen invariantes al aplicar transformaciones como traslaciones, giros o simetrías.

Una transformación geométrica puede entenderse como un cambio que se aplica a una figura geométrica, pudiendo alterar su posición o su orientación sin modificar propiedades esenciales como la “forma” y el tamaño. En esta unidad nos centramos en el grupo de las isometrías; es decir, traslaciones, giros o rotaciones y reflexiones. Se reflexiona acerca de qué implica “cambiar de forma”, a partir de las relaciones de incidencia, paralelismo y perpendicularidad. Como motivación de la unidad, se resaltan las conexiones con el arte, especialmente en contextos como la creación de teselados.

Motivación inicial de la unidad: los teselados en el arte.

¿Cómo podemos despertar las intuiciones del alumnado y movilizar sus experiencias previas?

En esta ocasión se ha optado por plantear como tarea la descripción de un juego muy conocido, el Tetris. Para ello, se proporciona un vídeo de una partida de este popular juego. El alumnado tiene que describir los movimientos que dependen del jugador. Así, comienzan a aparecer palabras como giros o rotaciones, movimientos, traslaciones o desplazamientos. También surge la necesidad de especificar todos estos movimientos. Por ejemplo, si es una traslación, en qué dirección y a qué distancia se produce. O, si es un giro, en qué sentido y con qué amplitud.

Actividad que moviliza experiencias intuitivas para el alumnado: ¿Cómo describirías los movimientos que dependen del jugador?

La siguiente actividad de exploración permite enfocar la atención en cómo describir una traslación y en cómo componer varias traslaciones sucesivas. De nuevo, se parte de una descripción verbal intuitiva para, luego, ir ganando en precisión y rigor.

Entorno interactivo para explorar las traslaciones.

En particular, la situación motiva la introducción del concepto de vector como una manera de describir una traslación. La actividad se apoya en recursos interactivos que facilitan la visualización de traslaciones y la suma de vectores. La lección recalca la utilidad de los vectores en la descripción precisa de traslaciones y sus aplicaciones geométricas, lo que constituye un avance en el desarrollo del lenguaje matemático.

La suma de vectores para describir composiciones de traslaciones.

Un planteamiento similar es el que ofrece el exploramos dedicado a giros y reflexiones en el plano. En primer lugar se propone al alumnado que aplique una reflexión axial a una figura dada. La construcción de dicha transformación permite explorar las relaciones geométricas entre la figura original y la figura transformada. Después se introduce el concepto de eje de simetría, a partir del reto de buscar reflexiones que dejan invariada una figura. Con los giros se sigue un procedimiento similar y también se introduce el concepto de centro de simetría. Finalmente, se componen dos reflexiones, lo que permite identificar que dicha composición es equivalente a otra transformación.

Como vemos en la siguiente imagen, se utilizan recursos interactivos para construir y visualizar estas transformaciones y para fomentar la identificación de patrones y propiedades comunes, como la relación entre el ángulo de giro y el ángulo entre ejes en reflexiones compuestas.

Recursos interactivos para explorar giros y simetrías.

Esta unidad recoge orientaciones que proceden de resultados de investigación en didáctica de la geometría ampliamente reconocidos (Van Hiele, 1986; Gutiérrez y Jaime, 2012; Johnston-Wilder & Mason, 2005). El enfoque elegido favorece la comprensión relacional y evita los errores más frecuentes derivados del aprendizaje mecánico, y facilita transiciones hacia la geometría analítica que se abordará posteriormente.

Como hemos tratado de recoger en este texto, la secuencia persigue que el alumnado no solo construya conocimiento, sino que también desarrolle una actitud crítica y creativa hacia las matemáticas, valorando su relación con el arte y apreciando la precisión y el rigor del lenguaje matemático como medio esencial para comunicar ideas geométricas complejas.

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Si estás interesado en conocer una propuesta pedagógica altamente motivadora para tus estudiantes, basada en la investigación y el descubrimiento guiados, ponte en contacto con nosotros y te daremos acceso a las primeras unidades de muestra.

Referencias

Fuys, D., Geddes, D., & Tischler, R. (1988). The van Hiele model of thinking in geometry among adolescents. Journal for Research in Mathematics Education Monograph, 3, i-196.

Gascón, J. (2002). Geometría sintética en la ESO y analítica en el Bachillerato. ¿Dos mundos completamente separados? Suma, 39, 13-25.

Gutiérrez, Á., & Jaime, A. (2012). Reflexiones sobre la enseñanza de la geometría en primaria y secundaria. Tecné, Episteme y Didaxis: TED, 32, 55-70.

Jaime, A., y Gutiérrez, Á. (1996). El grupo de las isometrías del plano. Síntesis.

Johnston-Wilder, S., & Mason, J. (Eds.). (2005). Developing thinking in geometry. Open University in association with Paul Chapman Pub.

Van Hiele, P.M. (1986). Structure and insight. A theory of mathematics education. Academic Press.

Vinner, S. (1991). The role of definitions in the teaching and learning of mathematics. En D. Tall (ed.), Advanced mathematical thinking (pp. 65-81). Kluwer.

Vinner, S. y Hershkowitz, R. (1983). On concept formation in geometry. ZDM, 83(1), 20-25.

Zaslavsky, O. (1994). Tracing students’ misconceptions back to their teacher: A case of symmetry. Pythagoras, 33, 10-17.