Funciones exponenciales y logarítmicas

La propuesta didáctica de Math Bits sobre funciones exponenciales y logarítmicas se organiza en torno a dos ideas: el patrón de crecimiento multiplicativo de la función exponencial y la definición del logaritmo como función inversa de la exponencial. Se trata de comprender cómo ciertos fenómenos responden a un crecimiento o decrecimiento multiplicativo de cierta magnitud cuando otra magnitud varía.

31 de marzo de 2025

El aprendizaje de la función logarítmica y la función exponencial se enmarca dentro de la exploración de modelos matemáticos que emergen en contextos significativos, permitiendo al alumnado identificar patrones de variación exponencial y compararlos con modelos ya conocidos, como el lineal. De esta manera, situaciones como el crecimiento de una población biológica, la dilatación de una barra o la absorción del sonido sirven como punto de partida para construir intuitivamente las ideas importantes detrás de estas funciones. Solo tras esta exploración inicial se avanza hacia su formalización matemática.

En la primera lección «Exploramos» (“Una barra que se dilata”), el alumnado se enfrenta a una situación imaginaria, pero significativa. Un vídeo muestra la dilatación de una barra que duplica su longitud cada segundo. Una serie de preguntas invitan a los estudiantes a plantearse la generalización de la exponenciación más allá de la idea de multiplicación repetida, para abarcar exponentes no naturales y dotarlos de significado.

El contexto de esta lección es una barra que se dilata en función del tiempo.

Mientras que el contexto anterior abordaba el crecimiento exponencial, en la siguiente lección «Exploramos» (“Absorción exponencial: atenuación sonora”) se analiza una situación de decrecimiento exponencial. Se proponen actividades en las que hay que conocer el nivel de una señal de sonido al atravesar paredes aislantes con distintos grosores. Como el grosor es una magnitud continua, la situación permite ir más allá de la idea de exponenciación como una multiplicación repetida. Las preguntas que se plantean obligan a reflexionar sobre cómo se extienden las propiedades de las potencias al trabajar con exponentes reales.

Simulador que permite acercarse al producto de funciones exponenciales con la misma base, dando sentido a exponentes no naturales.

Si sabemos describir una evolución de tipo exponencial, podemos preguntarnos cómo determinar el tiempo necesario para alcanzar un cierto valor de la magnitud estudiada. En la lección «Exploramos» («El tiempo de las algas»), se plantea este interrogante en el contexto de la expansión de una población de algas. Se trata de la pregunta «inversa» a la abordada en las actividades anteriores de la unidad. Siguiendo el enfoque empleado a lo largo de toda la propuesta de Math Bits en torno a las funciones, a través de la articulación de registros tabulares, gráficos, verbales y algebraicos, el alumnado descubre patrones que lo conducen de manera natural a la definición del logaritmo y sus propiedades, vinculándolas con las de la función exponencial.

Se introduce la idea de logaritmo de forma intuitiva, como la inversa de la exponencial, partiendo de la «pregunta inversa» en una situación de crecimiento exponencial.

El propio contexto de la situación permite introducir las propiedades de los logaritmos desde un punto de vista funcional.

A modo de síntesis, podemos decir que la propuesta para la exponencial y, sobre todo, para el logaritmo, se aleja del clásico enfoque aritmético en el que primero se aprenden las propiedades en un ambiente operacional y, posteriormente, se aplican en el mundo de las funciones. Como hemos descrito anteriormente, comenzar modelizando situaciones con funciones permite, no solo construir estos nuevos modelos, sino también reflexionar sobre sus propiedades.

¿Quieres saber más sobre las propuestas didácticas de Math Bits?

Si estás interesado en conocer una propuesta pedagógica altamente motivadora para tus estudiantes, basada en la investigación y el descubrimiento guiados, ponte en contacto con nosotros y te daremos acceso a las primeras unidades de muestra.

Referencias

Confrey, J., & Smith, E. (1994). Exponential functions, rates of change, and the multiplicative unit. Educational Studies in Mathematics, 26, 135-164.

Díaz-Berrios, T., & Martínez-Planell, R. (2022). High school student understanding of exponential and logarithmic functions. The Journal of Mathematical Behavior, 66, 100953.

Ellis, A. B., Ozgur, Z., Kulow, T., Dogan, M. F., & Amidon, J. (2016). An Exponential Growth Learning Trajectory: Students’ Emerging Understanding of Exponential Growth Through Covariation. Mathematical Thinking and Learning, 18(3), 151-181.

Kuper, E., & Carlson, M. (2020). Foundational ways of thinking for understanding the idea of logarithm. The Journal of Mathematical Behavior, 57, 100740.

Thompson, P. W., & Harel, G. (2021). Ideas foundational to calculus learning and their links to students’ difficulties. ZDM – Mathematics Education, 53(3), 507-519.

Webb, D. C., Van Der Kooij, H., & Geist, M. R. (2011). Design Research in the Netherlands: Introducing Logarithms Using Realistic Mathematics Education. Journal of Mathematics Education at Teachers College, 2(1), 47-52.

Weber, K. (2002). Students’ understanding of exponential and logarithmic functions. En D. Quinney (Ed.), Proceedings of the 2nd international Conference on the Teaching of Mathematics (pp. 1-7). Nueva York, Estados Unidos: John Wiley & Sons.