Enfoque didáctico para los enteros en Math Bits

Si reflexionamos sobre los problemas habituales en que intervienen los números enteros en 1.º de la ESO, observaremos algo inquietante: los podría resolver perfectamente un alumno de 3.º o 4.º de Primaria. Estos problemas, que más bien podrían llamarse ejercicios, tratan sobre deudas y haberes, ascensores, profundidades a las que desciende un buzo, temperaturas, edades de personajes históricos, puntos ganados o perdidos en un juego, etc.

¿Acaso es necesaria la notación completa (con el número con signo entre paréntesis) para resolver estas cuestiones? ¿Hace falta un conocimiento de los enteros, como estructura numérica, para abordarlas? Más aún,¿estamos insinuando que los romanos, que desde luego no manejaban números enteros, no podían resolver problemas de deudas y haberes?

Los enteros ofrecen un reto a los docentes. Actualmente siguen muy arraigados al bloque de aritmética sin ninguna razón que lo justifique, como una suerte de herencia de las matemáticas modernas. En los años 60 y 70, esta corriente trataba de fundamentar la matemática escolar en la teoría de conjuntos y estructuras algebraicas. Aplicaciones, clases de equivalencia, propiedades, etc., eran términos usuales en los libros de texto de aquellos años, y perduraron en algunos países hasta bien entrados los años 80. Así, los enteros se presentaban como un conjunto de números ya construido que presentaba ciertas propiedades.

Los escollos que el alumnado experimenta en relación con los enteros pueden rastrearse hasta el origen histórico de estos números, lo cual indica que estas dificultades no son meramente cognitivas, sino que están relacionadas con la naturaleza del objeto matemático en cuestión. Aunque se pueden observar ya ciertas formas de «negatividad» en las matemáticas de la China antigua o en la Arithmetica de Diofanto, el estudio de los números negativos es una historia plagada de obstáculos. Entre ellos:

• La dificultad para manipular cantidades negativas aisladas (Diofanto enuncia la regla de los signos, pero no reconoce cantidades negativas aisladas).
• La dificultad para dar significado a las cantidades negativas aisladas (Stevin, D’Alembert, Carnot, quizás Descartes).
• La dificultad para unificar la recta real (puesto que los positivos y negativos se concebían como objetos de diferente categoría, que se neutralizaban; Maclaurin, D’Alembert, Carnot y Cauchy).
• La ambigüedad de los dos ceros (¿qué es una cantidad menor que nada?; Stevin, Maclaurin, Carnot, Cauchy y quizás también Euler y Laplace).
• El estancamiento en el estadio de las operaciones concretas (se asume la estructura aditiva pero no la multiplicativa).

La propuesta que se presenta en Math Bits es una adaptación de la propuesta de Eva Cid, investigadora en didáctica de la matemática especializada en números enteros. Recoge el guante lanzado hace tiempo por la comunidad investigadora, la cual reconoce que no existe un modelo concreto que permita abstraer sus propiedades de manera completamente satisfactoria. Los modelos que se emplean habitualmente, como las deudas y haberes, solo permiten justificar, y de forma no plenamente satisfactoria, la estructura aditiva.

Cuando, como docentes, pensamos que nos funciona enseñar enteros con deudas y haberes es porque ya conocemos cómo es su estructura y buscamos argumentos que se ajusten a ella. El siguiente ejemplo muestra el argumento, perfectamente legítimo, de un alumno:

• Alumno: (+70) − (−10) = + 70 porque si tengo 70 € y me perdonan una deuda de 10 €, sigo teniendo 70 €.
• Docente: No. Tener 70 € y no deber nada es equivalente a tener 80 € y deber 10 €. Si ahora quitamos la deuda de 10 €, nos queda un haber de 80 €, luego (+70) − (−10) = + 80.

Y situaciones similares ocurren con cualquier modelo concreto que se nos ocurra. Los cuales, realmente, se clasifican en dos tipos:

• Modelos de neutralización: se basan en la manipulación de cantidades de magnitud con sentidos opuestos que se neutralizan entre sí. Para describirlos utilizaremos un modelo de fichas de dos colores donde se supone que cada ficha de un color neutraliza una ficha del otro color. Ejemplos: deudas y haberes, personas que entran o salen de un recinto, juegos con puntuaciones positivas o negativas, fichas de dos colores que se neutralizan, cargas eléctricas positivas o negativas, etc.
• Modelos de desplazamiento: los números positivos o negativos pueden indicar posiciones en un sentido u otro, a partir de un origen, o desplazamientos de una posición en uno u otro sentido. Para describirlos vamos a utilizar un camino dividido en casillas, donde cada una es una posición que pueden ocupar las fichas. Estas posiciones se numeran a partir de cierta posición inicial, y se añade el signo + o − según el sentido del recorrido. Ejemplo: el termómetro, el ascensor, las escaleras que se suben y bajan, las altitudes por encima y debajo del nivel del mar, los años antes y después de Cristo, los caminos de doble sentido, las posiciones y desplazamientos sobre la recta real, etc.

Obstáculos de los modelos concretos

El uso de estos modelos presupone que los enteros se trabajan en el ámbito de la aritmética. También ocasiona que se invierta el proceso de modelización matemática. En ciencias experimentales, lo que se estudia es un fenómeno del mundo físico que se representa mediante un modelo matemático que permite obtener información y hacer predicciones. En la enseñanza de la aritmética elemental la cosa va al revés. Lo que se modeliza es el objeto matemático por medio de un sistema físico. El uso de modelos concretos (contextos reales y uso de manipulables) para los números naturales y fraccionarios reproduce intuitivamente sus propiedades e ideas de medida. Sin embargo, esto no ocurre con los enteros, que surgieron por una necesidad interna de las matemáticas. Y, desde luego, no hay contexto real o manipulable que reproduzca de forma intuitiva su estructura. Así, la utilización de modelos concretos dificulta la justificación del orden («¿por qué −8 es menos que −2?») y la estructura multiplicativa de los enteros («¿por qué menos por menos es más?»).

Veamos un ejemplo de obstáculo en los modelos de desplazamiento. En estos modelos se define un sentido de recorrido y se dice que las posiciones anteriores son menores según ese sentido. Así se asume un convenio que no resulta familiar a los niños. Además, contradice el sentido de recorrido que se utiliza para dibujar el modelo. En el caso de la recta numérica, se define un sentido de recorrido de izquierda a derecha que permite justificar que −8 < −5 porque −8 está a la izquierda de −5. Sin embargo, los niños, al dibujar la recta numérica, ¿qué hacen?

1. Representar el origen.
2. Hacia la derecha, van representando los puntos +1, +2, +3, etc.
3. Después, dibujan los puntos −1, −2, −3, etc.

Es decir, recorren la recta desde el origen hacia la derecha y después desde el origen hacia la izquierda. Ese es el sentido de recorrido que se impone y, de acuerdo con él, −5 se dibuja antes que −8, lo que sugiere que −5 < −8.

Podríamos aportar ejemplos similares para otros modelos. De momento, ilustraremos uno más:

En el modelo de neutralización hay que concebir (−3) × (−2) como quitar tres veces 2 fichas azules, deudas o cargas eléctricas negativas o puntuaciones negativas… Las manipulaciones sucesivas nos llevan a que eso es equivalente a añadir 6 fichas rojas, por lo que (−3) × (−2) = +6.

Esto significa que −3 ya no indica 3 fichas azules, como hasta ahora, sino que es un operador, un multiplicador que actúa reiterando el término −2 (que, en cambio, sí que indica 2 fichas azules) y avisando de que el resultado de esa operación ha de ser «quitado» de algún sitio.

Es decir, hay que interpretar que el signo que acompaña al número 3 es un signo operativo, mientras que el que acompaña al número 2 es predicativo.

Además, el hecho de identificar el resultado +6 con la frase «añadir 6 fichas rojas» obliga a asumir que el signo que precede al número 6 es a la vez predicativo y operativo.

La consecuencia de todo esto es que las operaciones entre números enteros se presentan como operaciones entre naturales con el añadido de alguna consideración sobre los signos, como el reduccionismo consistente en «suma los positivos por un lado y los negativos por otro». Esto último es un claro obstáculo para captar la naturaleza de los enteros e integrarlos en un nuevo conjunto numérico. Además, conlleva que las técnicas de cálculo de expresiones numéricas que indican operaciones combinadas se algoritmizan y no se busca la forma más eficiente de calcularlas, algo clave en el pensamiento algebraico.

De esta manera, la secuencia didáctica habitual comienza con la presentación inicial de la notación completa y el alumnado va viendo cómo, ante sus ojos, se suceden diversas notaciones sin considerarlas objetos de estudio. ¿Cómo es que ahora los números van entre paréntesis y con signo?

Esta aproximación no explicita las diferencias existentes entre los enteros y los naturales:

• La introducción de los enteros exige reinterpretar el significado del cero. Ahora ya no es el cero absoluto, sino que pasa a ser un cero origen.
• La resta pasa de ser una sustracción a ser una diferencia. Y no es lo mismo.
• También se modifican propiedades que afectaban a todos los números, como:
  • Que el resultado de una suma es mayor o igual que cualquiera de sus sumandos.
  • Que el minuendo de una diferencia tiene que ser mayor o igual que el sustraendo.
  • Que el resultado de un producto de factores distintos de cero es mayor o igual que cualquiera de sus factores.
  • Que el dividendo de una división es mayor o igual que el cociente, que no existen números menores que cero, etc.

Todas estas diferencias hay que ponerlas sobre la mesa en una secuencia didáctica bien diseñada y articulada. No hacerlo puede llevar a pensar que dichas propiedades siguen cumpliéndose con los enteros.

¿Qué hacemos entonces?

La propuesta se basa en presentar los enteros en un entorno algebraico y se desarrolla de forma gradual atendiendo, en primer lugar, a la ruptura que implica el álgebra con respecto a la aritmética. Esta ruptura se ejemplifica ya en las primeras tareas: la solución a un problema no tiene por qué ser un número, puede ser una expresión algebraica (cuando desconocemos alguno de los datos).

El desarrollo atiende a la aceptación de las letras como variables (privilegiando esta concepción frente a la de incógnita), lo que posibilitará empezar a trabajar comparaciones y diferencias entre expresiones algebraicas y, al mismo tiempo, ir aportando significado a los signos y a la notación. Se inicia así el paso de una interpretación de los signos como operativos binarios entre números absolutos a una interpretación como signos operativos que indican que un número es un sumando o un sustraendo.

En una segunda fase, nos planteamos como objetivo pasar del significado aritmético de la resta como sustracción al significado algebraico de la resta como diferencia, a través de situaciones para aprender a comparar expresiones algebraicas. Así mismo, se parte de la comprensión de los signos como operadores binarios entre dos números a un significado operativo unario, esto es, donde el signo junto con el número forman una entidad. Al mismo tiempo, se proporcionan tareas centradas en técnicas de cálculo que justifican el proceder con los paréntesis.

Por ejemplo, para calcular 567 + 99, lo ideal es sumar 100 y luego restar 1. O para 67 − 29, que se puede calcular restando 30 y sumando 1. Este tipo de observaciones da paso a una de las tareas clave donde se analizan expresiones y se deduce que restar (a − b) es lo mismo que restar a y sumar b.

67 − 29 = 67 − (30 − 1) = 67 − 30 + 1 (porque restar 29 es lo mismo que restar 30 y sumar 1).

En este momento va a quedar establecida la estructura aditiva de sumandos y sustraendos.

En la tercera fase se plantea como objetivo introducir la estructura multiplicativa de sumandos y sustraendos, lo que se inicia planteando el cálculo de áreas de rectángulos de lados desconocidos para ir introduciendo la propiedad distributiva.

Y, finalmente, la cuarta fase desemboca en la formalización de los enteros, lo que da sentido a la notación completa (el número entre paréntesis con su signo) y a explorar las propiedades de este nuevo conjunto de números.

ESCRITO POR
Pablo Beltrán Pellicer – Universidad de Zaragoza
@pbeltranp
Profesor titular del área de Didáctica de las Matemáticas en la Universidad de Zaragoza.