El aprendizaje de la geometría en Math Bits

Las matemáticas en la Educación Primaria y al comienzo de la Educación Secundaria no pueden quedar reducidas a la aritmética ni, a partir de ahora, al álgebra. Resulta habitual que este énfasis injustificado en la aritmética o en el álgebra ocasione que otras áreas, como la geometría, la probabilidad o la estadística queden relegadas a un segundo plano. En el caso de la geometría ocurre que muchas veces se produce una «aritmetización» o «algebrización prematura» de la misma, al reducirla a la aplicación trivial de unas fórmulas en situaciones prefijadas.

Aprender geometría implica identificar, representar y clasificar formas, descubrir sus propiedades y relaciones, describir sus movimientos y, sobre todo, razonar con todos estos elementos. Estas características se enfatizan en los nuevos currículos al incorporar la idea de sentido, recogiendo todo esto en lo que se denomina sentido espacial.

Como el razonamiento, la argumentación, la conjetura y la prueba son esenciales en geometría, conviene reflexionar sobre los diferentes niveles de razonamiento en geometría que nos podemos encontrar en nuestro alumnado y sobre cómo facilitar su desarrollo. Para ello el modelo introducido por Dina y Pierre van Hiele (van Hiele, 1986) constituye un marco muy útil y todavía vigente (aunque a lo largo de los años se ha matizado y adaptado), tanto para el diseño de actividades como para su gestión en el aula o realizar una evaluación de la comprensión del alumnado (Gutiérrez y Jaime, 2012; NCTM, 2000).

Al comienzo de la Educación Secundaria nos encontraremos con que los estudiantes se encuentran en alguno de los tres primeros niveles de los cinco establecidos por Van Hiele. El objetivo en 1º y 2º curso de Educación Secundaria, como veremos, será facilitar la llegada al tercer nivel.

Nivel 1
(Visualización)

La persona reconoce las figuras geométricas por su apariencia, viéndolas como un todo desprovisto de componentes o atributos, quizá, comparándolas con un prototipo conocido (puerta, ventana). En este nivel no se reconocen las partes que componen la figura ni se explicitan las propiedades esenciales de la figura. No hay apenas razonamiento, solo percepción. Las actividades correspondientes a este nivel van enfocadas a aprender vocabulario geométrico, identificar formas y reproducir figuras.

Nivel 2
(Análisis)

El alumnado que razona a este nivel empieza a distinguir las características propias de cada figura, a través de la observación y la experimentación. Se emplean propiedades geométricas para abstraer clases de figuras (p. ej., los rectángulos tienen las diagonales iguales), pero no se llega a establecer relaciones entre distintas clases (p. ej., cuadrados, rombos y rectángulos no se perciben como paralelogramos). Desde este nivel, el alumnado propone definiciones enumerando varias características de una figura, posiblemente con omisiones y/o redundancias. Las justificaciones de estas propiedades se realizan en base a unos pocos casos particulares.

Nivel 3
(Deducción informal)

A veces, también llamado nivel de abstracción o de clasificación. En este nivel de razonamiento se conectan diferentes propiedades y se relacionan clases de figuras. De esta manera, se comprende que una clase esté incluida en otra (p. ej., el cuadrado es un tipo de rectángulo). Las definiciones de las figuras ya no consisten en un simple listado de propiedades, sino que adquieren un significado en sí mismas y, por lo tanto, son concisas y suficientes para describir la figura en cuestión. Se deduce de manera informal, conviviendo este tipo de deducciones con resultados empíricos particulares. Aunque no se alcanza a comprender la estructura axiomática de una deducción formal (construir una demostración a partir de unas premisas) pueden llegar a seguir y apreciar pruebas formales.

La propuesta de actividades que planteamos en Math Bits tiene en cuenta la disparidad de niveles que puede haber en el aula, y facilita el paso a niveles superiores mediante las actividades de exploración. Ya desde el vídeo y las preguntas del «Empezamos» está muy presente esta idea, promoviendo que el alumnado reflexione sobre algo tan —aparentemente— sencillo como el concepto de punto. De hecho, con estas actividades iniciales se pone sobre la mesa otro concepto clave, de manera implícita, que es el de lugar geométrico.

El primer «Exploramos» y su «Explicamos» asociado atienden a los conceptos de perpendicularidad y paralelismo. No son conceptos desconocidos para el alumnado, pero en nuestra propuesta este «Exploramos» es clave, pues es una primera toma de contacto con el razonamiento característico de la geometría pura o sintética. Se explorarán situaciones en las que se cortan dos rectas o en las que dos rectas son cortadas por una transversal. De las relaciones entre los ángulos que se forman podrán deducirse condiciones para la perpendicularidad o el paralelismo. No se trata de aprender sin más las condiciones, sino de argumentar su origen y apreciar la riqueza de aportar definiciones alternativas y dobles implicaciones.

A continuación, nos adentraremos en la idea de lugar geométrico, con actividades que promueven este significado de manera implícita, gracias al diseño didáctico. De esta manera, la mediatriz como lugar geométrico; es decir, como el objeto formado por los puntos que equidistan a los extremos de un segmento, emerge a partir de una situación-problema en la que hay que situar puntos (localizaciones para un refugio de montaña) a la misma distancia de dos puntos concretos. A partir de ahí, la propuesta se enriquece explorando la construcción (¡y la argumentación de dicha construcción!) y se completa con diversas situaciones-problema en torno a la idea de mediatriz, como la exploración del circuncentro de un triángulo.

La bisectriz como lugar geométrico se explora mediante un contexto en el que hay que decidir posibles localizaciones para una gasolinera (que esté a la misma distancia de dos carreteras).

La circunferencia inscrita, cuyo centro es el incentro (intersección de las bisectrices), también es objeto del «Exploramos» de la bisectriz.

La propuesta continúa con una serie de actividades centradas en clasificaciones de triángulos y cuadriláteros. En el caso de los triángulos, además, se exploran cuestiones interesantes sobre ellos que no deberían ser desconocidas para nuestro alumnado. «¿Siempre se puede construir un triángulo con tres segmentos? ¿Qué condición deben satisfacer los segmentos? ¿Por qué la suma de los ángulos de un triángulo es 180º?» Con ello, pretendemos facilitar el paso de un razonamiento basado exclusivamente en la apariencia de las figuras a un razonamiento basado en sus propiedades como objetos geométricos y que permita ir trabajando la deducción informal.

Es habitual que gran parte del alumnado solamente considere criterios exclusivos de clasificación, de forma que un triángulo equilátero no sea considerado como isósceles. La puesta en práctica de criterios inclusivos, que dan lugar a clasificaciones jerárquicas, donde una clase de objetos puede estar incluida en otra, exige relacionar diferentes propiedades y es clave para avanzar en los niveles de razonamiento. En el caso de los cuadriláteros, se vuelve a plantear el problema de la clasificación, así como la cuestión de la definición como objeto de estudio en sí misma. Es decir, «¿Qué es definir en geometría? ¿Cómo es una buena definición?». Estas preguntas nos llevarán a identificar conjuntos de propiedades esenciales para cada clase de cuadriláteros, pudiendo existir definiciones alternativas para una misma clase. Estas definiciones serán las que den argumentos para construir los diferentes cuadriláteros con regla y compás.

La medida de áreas es un contenido habitual y de gran interés para la geometría. Ahora, la geometría métrica no ha de quedar reducida, como apuntábamos al principio, a aprenderse unas fórmulas y hacer operaciones con ellas. Conviene empezar poniendo de manifiesto qué es medir el área, porque muchas veces ocurre que parte del alumnado no tiene experiencia en medida directa de áreas. Es importante que sea consciente de que la medida del área de una superficie se obtiene recubriendo esta superficie con una unidad. En dicho proceso, quizá haya que recomponer la superficie o fraccionar la unidad de medida. Son estas técnicas de medida directa las que permitirán encontrar las formas de cálculo indirecto de las áreas, a través de longitudes específicas (lados, alturas, diagonales) de los diferentes polígonos por descomposición y recomposición. El foco no está, por tanto, en el aprendizaje de las fórmulas de las áreas, sino en los argumentos que permiten obtener esas expresiones algebraicas y que, en caso de olvido o de un nuevo tipo de figura, permitirían el cálculo del área de una superficie formada por un conjunto de polígonos. La clave de la lección «Todo son rectángulos» (Exploramos) es recomponer figuras para encontrar un rectángulo de la misma área.

Finalmente, el número pi exige un tratamiento especial. Su carácter irracional es incómodo en estos niveles educativos. Proponemos en este «Exploramos» una secuencia de actividades para dotar de significado a pi como la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro y acercarnos a su valor aproximado. De esta manera, conectando con el «Exploramos» de medida de áreas de polígonos, se abordará el problema del área del círculo, el cálculo de longitudes de arco y áreas de sectores.

¿Quieres saber más sobre las propuestas didácticas de Math Bits?

Si estás interesado en conocer una propuesta pedagógica altamente motivadora para tus estudiantes, basada en la investigación y el descubrimiento guiados, ponte en contacto con nosotros y te daremos acceso a las primeras unidades de muestra.


Referencias

Además de los trabajos que mencionaremos posteriormente, varias de las ideas de las actividades están recogidas en sitios de referencia como NRICH.

Arnal-Bailera, A. (2013). Mediación tecnológica en la enseñanza y el aprendizaje de Geometría con grupos de riesgo : estudio múltiple de casos. Tesis doctoral. Cerdañola del Vallés, España: Universidad Autónoma de Barcelona.

Fuys, D., Geddes, D., y Tischler, R. (1988). The Van Hiele model of thinking in geometry among adolescents. Journal for Research in Mathematics Education Monograph, 3, i+1-196.

Gutiérrez, Á., y Jaime, A. (2012). Reflexiones sobre la enseñanza de la geometría en primaria y secundaria. Tecné, Episteme y Didaxis: TED, 32, 55-70.

Johnston-Wilder, S., y Mason, J. (Eds.). (2005). Developing thinking in geometry. Londres, Reino Unido: Open University in association with Paul Chapman Publishing.

National Council of Teachers of Mathematics (Ed.). (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston, VA, Estados Unidos: National Council of Teachers of Mathematics.

Van Hiele, P.M. (1986). Structure and insight. A theory of mathematics education. Londres, Reino Unido: Academic Press.

Vinner, S. (1991). The role of definitions in the teaching and learning of mathematics. En D. Tall (ed.), Advanced mathematical thinking (pp. 65-81). Dordrecht, Países Bajos.: Kluwer Academic Publishers.

Vinner, S. y Hershkowitz, R. (1983). On concept formation in geometry. ZDM, 83(1), 20-25.

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