Geometría analítica

Esta unidad de Math Bits está dedicada principalmente a la geometría analítica, pero sin perder de vista las conexiones con la geometría clásica o sintética. La propuesta didáctica empieza con algunos problemas geométricos que se abordan tanto desde la perspectiva de la geometría clásica como con métodos analíticos. Esto permite valorar las ventajas e inconvenientes de cada enfoque, según el contexto. Además, se dedica especial atención a cómo describir determinados lugares geométricos mediante una expresión algebraica.

31 de marzo de 2025

La lección Empezamos arranca con un video que plantea el hecho de que los videojuegos representan escenarios y movimientos de objetos mediante datos numéricos. Por lo tanto, deben emplear conceptos como coordenadas, rectas, ángulos y cálculo de distancias. Esta es la motivación inicial de la unidad. De fondo, la idea de que «hacer geometría con coordenadas» es muy útil, sobre todo en contextos como el que planteamos.

La motivación que ofrece el Empezamos ya pone sobre la mesa la necesidad de usar coordenadas para describir objetos geométricos y movimientos.

Sin embargo, no hay que perder la conexión con la geometría clásica o sintética. En el primero de los Exploramos, «Construimos triángulos», se introduce la geometría analítica como un método eficiente para resolver problemas a partir de la construcción de un triángulo isósceles de base y altura conocidas. Se compara esta forma de proceder con la resolución del mismo problema a partir de la geometría sintética. Posteriormente, la actividad continúa con un segundo problema: la construcción de un triángulo escaleno a partir de sus lados. En este caso, es más fácil de resolver a partir de la geometría sintética. El objetivo es apreciar que la geometría analítica no es una superación de la geometría sintética, sino que se trata de dos enfoques complementarios.

Conexiones entre geometría sintética y analítica.

En el segundo Exploramos, «Puntos alineados», la famosa paradoja del cuadrado perdido nos sirve de excusa para volver a la idea de recta, esta vez como el lugar geométrico de los puntos que están alineados con un punto determinado según una misma pendiente. Esto también permite valorar la geometría analítica como un modo de acercarse a determinados problemas.

Paradoja del cuadrado perdido como contexto intramatemático.

Como siempre, la actividad incluye cuestiones que proporcionan el andamiaje adecuado. Aunque el concepto de lugar geométrico quede lejos al alumnado (ya nos aproximamos a objetos geométricos como mediatrices y bisectrices desde la idea de lugar geométrico en unidades anteriores), la actividad facilita establecer esas conexiones para que el aprendizaje sea significativo.

Cuestiones de andamiaje para conectar con ideas previas.

Después de confrontar los dos tipos de geometría, en los Explicamos se profundiza en los métodos analíticos y se introduce la idea de vector.

En la última parte de la unidad, nos aproximamos al estudio de las cónicas. En el Exploramos «Mantener las distancias», se estudia la circunferencia desde una doble perspectiva: analítica y sintética. Para ello, en primer lugar se estudian los cortes entre una esfera y un plano, lo que permite recuperar la definición de la circunferencia como lugar geométrico. A partir de esta definición, se describen y estudian analíticamente circunferencias en el plano cartesiano.

Interactivos que facilitan la visualización de los cortes de la esfera con un plano.

En el siguiente Explicamos, se introduce el resto de cónicas, mediante recursos interactivos que favorecen la exploración.

Más interactivos que permiten profundizar en los cortes de planos con conos.

A lo largo de toda la unidad, se hace especial hincapié en no reducir la geometría analítica a una aplicación mecánica de fórmulas. Se trata de ofrecer la oportunidad al alumnado de desarrollar una comprensión profunda de las relaciones matemáticas que subyacen en cada representación de los objetos geométricos.

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Referencias

Gascón, J. (2002). Geometría sintética en la ESO y analítica en el Bachillerato. ¿Dos mundos completamente separados? Suma, 39, 13-25.

Van Hiele, P.M. (1986). Structure and insight. A theory of mathematics education. Academic Press.

Vinner, S. (1991). The role of definitions in the teaching and learning of mathematics. En D. Tall (ed.), Advanced mathematical thinking (pp. 65-81). Kluwer.