Cómo pasar de la geometría del plano al espacio a través de las situaciones de aprendizaje
Una de las novedades de los currículos actuales es que los contenidos propios de la geometría se desarrollan dentro del sentido espacial. Este hecho viene a subrayar que el foco ha de estar en el trabajo de los procesos que describen las competencias específicas. En particular, la geometría ofrece un marco incomparable para argumentar a partir de situaciones donde se explora y conjetura, para ir avanzando hacia la idea de prueba. Por supuesto, la resolución de problemas será el eje sobre el que se articule todo el aprendizaje.
2 de septiembre de 2024
A lo largo de la unidad, los estudiantes explorarán relaciones de congruencia y semejanza entre figuras, apreciarán el potencial de la geometría para modelizar situaciones, y aprenderán sobre célebres teoremas matemáticos. Además, abordarán los desarrollos planos de cuerpos geométricos, la proporcionalidad geométrica, y el fascinante problema del teselado del plano y su relación con los poliedros regulares. Como veremos a continuación, el diseño de nuestra propuesta didáctica hace de estos procesos y contenidos su razón de ser.
Introducción a la semejanza en geometría plana
La idea de semejanza y proporcionalidad geométrica se aborda en la unidad con una actividad clásica, que se remonta a los trabajos de Brousseau y que consiste en la ampliación de una pieza de un tangram. Después de familiarizarse con el puzle, se pide a los estudiantes que construyan un puzle ‘igual’, pero de tal manera que el lado de una pieza que mide 4 cm, pase a medir 5 cm. Probaremos sumando 1 cm a cada uno de los lados, pero entonces ¿se mantiene la forma? Esta y otras preguntas son las que guían la reflexión que conduce a la razón de semejanza.
Una vez puesta sobre la mesa la idea de semejanza y el razonamiento proporcional que esconde, proponemos explorar los criterios de semejanza de los triángulos. ¿Cuándo podemos decir que dos triángulos son semejantes? Tal vez sea evidente que tendrán la misma ‘forma’ si sus tres ángulos son iguales, pero… ¿y si conocemos solo dos ángulos? Estas cuestiones se exploran con manipulativos virtuales como el siguiente.
La proporcionalidad en geometría mediante situaciones reales
La proporcionalidad geométrica requiere un tratamiento diferenciado de la proporcionalidad aritmética, pues las razones que se establecen son siempre entre cantidades de la misma magnitud (longitudes, por ejemplo). Esto ocasiona que las verbalizaciones sean algo diferentes a las de la unidad dedicada a la proporcionalidad aritmética, aunque las conexiones son evidentes. En cualquier caso, una vez hemos trabajado ya estas ideas, es momento de emplearlas para modelizar situaciones reales. En particular, aquellas que requieren medir longitudes inaccesibles.
Esta parte de la unidad se completa con páginas dedicadas al teorema de Tales y al teorema de Pitágoras. A continuación, se inicia un interesante camino que llevará del teselado del plano a los poliedros regulares. En primer lugar, ¿qué es ‘teselar’ el plano? Los estudiantes podrán explorar un par de situaciones iniciales donde abordarán la cuestión del recubrimiento del plano, con figuras planas, de tal manera que no dejen huecos entre ellas. Si se emplea la misma pieza, ¿nos sirve cualquiera? ¿Cuál es la condición que debe de cumplir?
¿Y si la condición para ‘teselar’ no se cumple? Los estudiantes podrán explorar qué ocurre con la suma de los ángulos en cierto vértice de la trama. Y, de esta forma, comenzar el estudio de las figuras tridimensionales deduciendo cuáles son los poliedros convexos regulares (sólidos platónicos).
El paso de la geometría del plano al espacio
La unidad concluye con la exploración de desarrollos planos y volúmenes de cuerpos geométricos. En «Área y desarrollos planos», los estudiantes aprenden a construir y analizar desarrollos planos de figuras tridimensionales. Las actividades prácticas incluyen la construcción de hexaminós y la resolución de problemas de empaquetado, promoviendo la visualización y el razonamiento geométrico.
En la lección «Volumen», se introduce el principio de Cavalieri de una manera significativa para comparar volúmenes de diferentes figuras geométricas. Los estudiantes desarrollan habilidades para comparar y calcular volúmenes de prismas, pirámides, conos y cilindros, y aprenden a medir volúmenes de forma indirecta utilizando dimensiones clave de las figuras.
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Referencias
Chamorro, C., y Belmonte, J. M. (1991). El problema de la medida. Madrid, España: Síntesis.
Grupo Beta (1990). Proporcionalidad geométrica y semejanza. Madrid, España: Síntesis.
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