Modelización y variación en Math Bits

La propuesta didáctica en Math Bits sobre funciones para el final de la Educación Secundaria Obligatoria se articula en torno a dos grandes ideas: modelización funcional y variación. En otras palabras, aprender a utilizar las funciones para modelizar situaciones en contextos diversos y estudiar el cambio o la variación desde una perspectiva matemática.

26 de febrero de 2025

La modelización matemática, ya ha aparecido en unidades anteriores de manera implícita, pero ahora se le dedica una atención específica. Las tareas de modelización parten siempre de una situación real que hay que comprender o resolver. Para ello, primero hay que construir un modelo simplificado de la situación y luego hay que describirlo con herramientas matemáticas.

Este proceso se trabaja detalladamente en la primera lección «Exploramos» (“De la realidad al modelo”), en la que se plantea la pregunta «¿Merece la pena cruzar la frontera para rellenar el depósito de gasolina en el país vecino?». Ante todo, vale la pena destacar que la consigna de la tarea no es «minimiza el coste total», sino que la situación exige decidir qué aspectos se tienen en cuenta y cuáles no. Por ejemplo, además del coste de la gasolina, se puede considerar el desgaste del vehículo o el coste del tiempo.

Se trata de un contexto en el que aparecen distintas magnitudes relacionadas. Por ello, para construir un modelo matemático se hace necesario el uso de funciones. A partir del modelo matemático se obtienen una serie de resultados que luego hay que interpretar y validar en el mundo real. Esto, a su vez, puede llevar a repetir el ciclo de modelización una segunda vez para tener en cuenta factores nuevos que no se habían considerado inicialmente.

La enseñanza de la modelización matemática pasa por mantener un equilibrio permanente entre la autonomía de los estudiantes y cierta guía por parte del profesorado. La secuencia de actividades propuesta facilita este andamiaje.

Ciclo de resolución de problemas de modelización.
Fuente: elaboración propia a partir del ciclo de
modelización de Blum & Leiß (2007).

Por ejemplo, la situación de la gasolina comienza precisamente dando espacio a la reflexión por parte del alumnado, tal y como se muestra en la siguiente imagen:

Una actividad de modelización a partir de una situación real.

Conviene detenerse en cada fase del ciclo para apoyar las rutas de modelización que escoja el alumnado, y así fomentar la propuesta de múltiples soluciones. Las intervenciones del docente son cruciales para guiar a los estudiantes en su proceso de modelización. La tarea de la gasolina plantea múltiples espacios para ello, como vemos en esta imagen, donde ya se ha puesto sobre la mesa el modelo matemático a emplear, una función afín:

El contexto que ofrece la actividad facilita el tránsito por las diferentes fases del proceso de modelización.

En la lección «Explicamos» posterior (“Modelos funcionales”), se reflexiona sobre el ciclo de modelización y se presentan diversos modelos funcionales con múltiples aplicaciones: funciones de proporcionalidad directa, funciones afines, funciones cuadráticas, funciones polinómicas y funciones definidas a trozos.

Diversos modelos funcionales.

El aprendizaje de la variación

Una vez abordado el ciclo de modelización, la unidad pasa a enfocarse en el estudio de la variación. En el fondo, se trata de un problema de modelización en sí mismo, puesto que la pregunta de partida es: ¿Cómo podemos modelizar matemáticamente el cambio o la variación de una magnitud? Para ello, en el siguiente «Exploramos» (“Dime cómo varías y te diré cómo eres”) se exploran los modelos funcionales ya conocidos, pero ahora a través de la idea de variación.

Se plantean situaciones en las que no disponemos de datos concretos de una magnitud, pero sí sabemos cómo varía esta magnitud al variar otra magnitud. Por ejemplo, sabemos cuánto varía la longitud de una barra metálica al variar su temperatura. Si recopilamos estas variaciones en una tabla, podemos analizar si la magnitud en cuestión crece o decrece y si lo hace de manera constante o no. A partir de esta información, podemos preguntarnos cómo es la gráfica correspondiente a los datos y cuál es el modelo funcional que mejor se ajusta a ellos.

Como se ve, en esta unidad se mantiene la línea metodológica de unidades anteriores; es decir, se articulan los diferentes registros de representación de una función: verbal, tabular, gráfico y algebraico.

La actividad lleva a reflexionar cuál de las gráficas se corresponde con los datos de variación facilitados.

Tras introducir el concepto de variación, se proponen otras situaciones que hacen necesario comparar las variaciones de las dos magnitudes relacionadas. Esto lleva a definir el concepto de tasa de variación media de una función, como la razón entre las variaciones de ambas variables. A partir de las tasa de variación media se pueden abordar también conceptos como el de máximo, el de mínimo o el de punto de inflexión.

Actividad de exploración alrededor de la idea de tasa de variación media.

Al final de la educación secundaria obligatoria, merece la pena introducir también la idea de tasa de variación instantánea. Se trata de la antesala del cálculo, y la propia conexión entre variación media e instantánea da lugar a interesantes y profundas discusiones. Siendo conscientes de que usualmente se emplea el contexto de la velocidad media e instantánea para mostrar estas ideas, y de que la cotidianidad puede erigirse aquí como una dificultad, hemos querido salir de ese camino empleando un contexto algo más lejano para el alumnado: analizar el consumo eléctrico para decidir qué potencia conviene contratar.

La secuencia conduce a preguntarse por el valor instantáneo de la potencia.

En lo referente a la continuidad de una función, se procura no reducir su estudio a actividades triviales donde hay que decidir si una función es continua o no, a partir de una definición poco rigurosa que puede crear un obstáculo didáctico. En otras palabras, se evitan definiciones que pueden crear un obstáculo didáctico como «es continua si no levantas el lápiz del papel». También se evitan definiciones excesivamente formales para este curso.

En lugar de ello, se propone un conjunto de actividades donde se reflexiona sobre el dominio de varias funciones y, especialmente, sobre cómo se comportan las funciones cerca de las fronteras del dominio. También se analizan otros ejemplos de funciones que presentan saltos dentro de su dominio o puntos donde no tiene sentido definir la tasa de variación instantánea.

En cuanto a la continuidad de una función, no se da una definición explícita, pero sí se aborda el significado del concepto.

“Inventa una función que…” Un tipo de actividad que da mucho juego.

Por último, se introducen algunos modelos funcionales no polinómicos como las funciones de proporcionalidad inversa, las funciones racionales y las funciones irracionales. Estos modelos permiten ampliar el rango de situaciones reales que se pueden analizar matemáticamente.

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Referencias

Arce Sánchez, M., Conejo Garrote, L., y Muñoz-Escolano, J. M. (2019). Aprendizaje y enseñanza de las matemáticas. Madrid, España: Editorial Síntesis.

Azcárate, C., Bosch, D., Casadevall, M. y Casellas, E., (1996). Cálculo diferencial e integral. Madrid, España: Síntesis.

Blum, W., y Borromeo Ferri, R. (2009). Mathematical modelling: Can it be taught and learnt? Journal of mathematical modelling and application, 1(1), 45-58.

Blum, W. y Leiß, D. (2007). How do students’ and teachers deal with modelling problems? In: Haines, P.L., Galbraith, W. Blum, y S. Khan (Eds), Mathematical Modelling: Education, Engineering and Economics. Chichester, Regne Unit: Ellis Horwood publishers.

Cuesta Borges, A., Escalante Vega, J. E., y Ruiz-Hidalgo, J. F. (2016). Velocidad. Significados manifestados por estudiantes universitarios a partir de representaciones gráficas. Avances de Investigación en Educación Matemática, 9, 105-125.

Tall, D. (2012). A Sensible approach to the calculus. El cálculo y su enseñanza, 3, 81-128.