Si reflexionem sobre els problemes habituals en què intervenen els nombres enters a 1r d’ESO, observarem un fet inquietant: els podria resoldre perfectament un alumne de 3r o 4t de Primària. Aquests problemes, que més aviat es podrien anomenar exercicis, tracten sobre deures i havers, ascensors, profunditats a les quals descendeix un bus, temperatures, edats de personatges històrics, punts guanyats o perduts en un joc, etc.
És realment necessària la notació completa (amb el nombre amb signe entre parèntesis) per resoldre aquestes qüestions? Cal un coneixement dels enters, com a estructura numèrica, per abordar-los? Encara més, estem insinuant que els romans, que per descomptat no empraven nombres enters, no podien resoldre problemes de deures i havers?
Els nombres enters ofereixen un repte als docents. Actualment segueixen molt arrelats al bloc d’aritmètica sense cap raó que ho justifiqui, com una mena d’herència de les matemàtiques modernes. En els anys seixanta i setanta, aquest corrent intentava fonamentar la matemàtica escolar en la teoria de conjunts i estructures algebraiques. Aplicacions, classes d’equivalència, propietats, etc., eren termes habituals en els llibres de text d’aquells anys, i van perdurar en alguns països fins ben entrats els anys vuitanta. Així, els enters es presentaven com un conjunt de nombres ja construït que tenia determinades propietats.
Els esculls que l’alumnat experimenta en relació amb els enters es poden rastrejar fins a l’origen històric d’aquests nombres, cosa que indica que aquestes dificultats no són merament cognitives, sinó que estan relacionades amb la naturalesa de l’objecte matemàtic en qüestió. Tot i que ja es poden observar certes formes de «negativitat» en les matemàtiques de la Xina antiga o en l’Arithmetica de Diofant d’Alexandria, l’estudi dels nombres negatius és una història plena d’obstacles. Entre ells:
- La dificultat per manipular quantitats negatives aïllades (Diofant enuncia la regla dels signes, però no reconeix quantitats negatives aïllades).
- La dificultat per donar significat a les quantitats negatives aïllades (Stevin, D’Alembert, Carnot, potser Descartes).
- La dificultat per unificar la recta real (atès que els positius i negatius es concebien com a objectes de diferent categoria que es neutralitzaven; Maclaurin, D’Alembert, Carnot i Cauchy).
- L’ambigüitat dels dos zeros (què és una quantitat més petita que res?; Stevin, Maclaurin, Carnot, Cauchy i potser també Euler i Laplace).
- L’estancament en l’estadi de les operacions concretes (s’assumeix l’estructura additiva però no la multiplicativa).
La proposta que es presenta a Math Bits és una adaptació de la proposta d’Eva Cid, investigadora en didàctica de la matemàtica especialitzada en nombres enters. Recull el guant llançat fa temps per la comunitat investigadora, la qual reconeix que no hi ha un model concret que permeti abstreure’n les propietats de manera completament satisfactòria. Els models que s’utilitzen habitualment, com els deures i els havers, només permeten justificar, i de manera no plenament satisfactòria, l’estructura additiva.
Quan, com a docents, pensem que ens funciona ensenyar enters amb deures i havers és perquè ja en coneixem l’estructura i busquem arguments que s’hi ajustin. L’exemple següent mostra l’argument, perfectament legítim, d’un alumne:
- Alumne: (+70) − (−10) = +70 perquè si tinc 70 € i em perdonen un deute de 10 €, segueixo tenint 70 €.
- Docent: No. Tenir 70 € i no deure res és equivalent a tenir 80 € i deure 10 €. Si ara traiem el deute de 10 €, ens queda un haver de 80 €, així (+70) − (−10) = +80.
I situacions similars succeeixen amb qualsevol model concret que se’ns acudeixi. En realitat, podem classificar-los en dos tipus:
- Models de neutralització: es basen en la manipulació de quantitats de magnitud amb sentits oposats que es neutralitzen entre si. Per descriure’ls utilitzarem un model de fitxes de dos colors on se suposa que cada fitxa d’un color neutralitza una fitxa de l’altre color. Exemples: deures i havers, persones que entren o surten d’un recinte, jocs amb puntuacions positives o negatives, fitxes de dos colors que es neutralitzen, càrregues elèctriques positives o negatives, etc.
- Models de desplaçament: els nombres positius o negatius poden indicar posicions en un sentit o un altre, a partir d’un origen, o desplaçaments d’una posició en un sentit o un altre. Per descriure’ls utilitzarem un camí dividit en caselles, on cada casella és una posició que poden ocupar les fitxes. Aquestes posicions es numeren a partir d’una determinada posició inicial, i s’hi afegeix el signe + o – segons el sentit del recorregut. Exemple: el termòmetre, l’ascensor, les escales que es pugen i baixen, les altituds per sobre i per sota del nivell del mar, els anys abans i després de Crist, els camins de doble sentit, les posicions i desplaçaments sobre la recta real, etc.
Obstacles dels models concrets
L’ús d’aquests models pressuposa que els enters es treballen en l’àmbit de l’aritmètica. També fa que s’inverteixi el procés de modelització matemàtica. En ciències experimentals, el que s’estudia és un fenomen del món físic que es representa mitjançant un model matemàtic que permet obtenir informació i fer prediccions. En l’ensenyament de l’aritmètica elemental la cosa va al revés. El que es modelitza és l’objecte matemàtic per mitjà d’un sistema físic. L’ús de models concrets (contextos reals i ús de manipulables) per als nombres naturals i fraccionaris reprodueix intuïtivament les seves propietats i idees de mesura. Tanmateix, això no succeeix amb els enters, que van sorgir per una necessitat interna de les matemàtiques. I, per descomptat, no hi ha cap context real o manipulable que reprodueixi de manera intuïtiva la seva estructura. Així, la utilització de models concrets dificulta la justificació de l’ordre («per què −8 és menys que −2?») i l’estructura multiplicativa dels enters («per què menys per menys és més?»).
Vegem un exemple d’obstacle en els models de desplaçament. En aquests models es defineix un sentit de recorregut i es diu que les posicions anteriors són més petites segons aquest sentit. Així s’assumeix un conveni que no resulta familiar als nois i noies. A més, contradiu el sentit de recorregut que s’utilitza per dibuixar el model. En el cas de la recta numèrica, es defineix un sentit de recorregut d’esquerra a dreta que permet justificar que −8 < −5 perquè −8 està a l’esquerra de −5. Tanmateix, els alumnes, en dibuixar la recta numèrica, què fan? Representen l’origen.
1. Representen l’origen.
2. Cap a la dreta, van representant els punts +1, +2, +3, etc.
3. Després, dibuixen els punts −1, −2, −3, etc.
És a dir, recorren la recta des de l’origen cap a la dreta i després des de l’origen cap a l’esquerra. Aquest és el sentit de recorregut que s’imposa i, segons això, −5 es dibuixa abans que −8, cosa que suggereix que −5 < −8.
Podríem aportar exemples similars per a altres models. De moment, n’il·lustrarem un altre:
En el model de neutralització s’ha de concebre (−3) × (−2) com treure tres vegades 2 fitxes blaves, deutes, càrregues elèctriques negatives o puntuacions negatives… Mitjançant les manipulacions successives ens adonem que això és equivalent a afegir 6 fitxes vermelles, per la qual cosa (−3) × (−2) = +6.
Això significa que −3 ja no indica 3 fitxes blaves, com fins ara, sinó que és un operador, un multiplicador que actua reiterant el terme −2 (que, en canvi, sí que indica 2 fitxes blaves) i avisant que el resultat d’aquella operació ha de ser «tret» d’algun lloc.
És a dir, s’ha d’interpretar que el signe que acompanya el nombre 3 és un signe operatiu, mentre que el que acompanya el nombre 2 és predicatiu.
A més, el fet d’identificar el resultat +6 amb la frase «afegir 6 fitxes vermelles» obliga a assumir que el signe que precedeix el nombre 6 és alhora predicatiu i operatiu.
La conseqüència de tot això és que les operacions entre nombres enters es presenten com a operacions entre nombres naturals amb l’afegit d’alguna consideració sobre els signes, com el reduccionisme consistent en «suma els positius per una banda i els negatius per una altra». Això últim és un clar obstacle per captar la naturalesa dels enters i integrar-los en un nou conjunt numèric. A més, comporta que les tècniques de càlcul d’expressions numèriques que indiquen operacions combinades s’algoritmitzen i no es busca la manera més eficient de calcular-les, aspecte clau en el pensament algebraic.
D’aquesta manera, la seqüència didàctica habitual comença amb la presentació inicial de la notació completa i l’alumnat va veient com, davant dels seus ulls, se succeeixen diverses notacions sense considerar-les objectes d’estudi. Com és que ara els nombres van entre parèntesis i amb signe?
Aquesta aproximació no explicita les diferències existents entre els enters i els naturals:
- La introducció dels enters exigeix reinterpretar el significat del zero. Ara ja no és el zero absolut, sinó que passa a ser un zero origen.
- La resta passa de ser una sostracció a ser una diferència. I no és el mateix.
- També es modifiquen propietats que afectaven a tots els nombres, com:
- Que el resultat d’una suma és més gran o igual que qualsevol dels seus sumands.
- Que el minuend d’una diferència ha de ser més gran o igual que el subtrahend.
- Que el resultat d’un producte de factors diferents de zero és més gran o igual que qualsevol dels seus factors.
- Que el dividend d’una divisió és més gran o igual que el quocient, que no hi ha nombres més petits que zero, etc.
Totes aquestes diferències cal posar-les sobre la taula en una seqüència didàctica ben dissenyada i articulada. No fer-ho pot portar a pensar que aquestes propietats segueixen complint-se amb els enters.
Què fem aleshores?
La proposta es basa a presentar els enters en un entorn algebraic i es desenvolupa de manera gradual abordant, en primer lloc, la ruptura que implica l’àlgebra respecte de l’aritmètica. Aquesta ruptura s’exemplifica ja a les primeres tasques: la solució a un problema no ha de ser necessàriament un nombre, pot ser una expressió algebraica (quan desconeixem alguna de les dades).
El desenvolupament atén l’acceptació de les lletres com a variables (privilegiant aquesta concepció davant de la d’incògnita), cosa que permetrà començar a treballar comparacions i diferències entre expressions algebraiques i, alhora, anar aportant significat als signes i a la notació. S’inicia així el pas d’una interpretació dels signes com a operatius binaris entre nombres absoluts a una interpretació com a signes operatius que indiquen que un nombre és un sumand o un subtrahend.
En una segona fase, ens plantegem com a objectiu passar del significat aritmètic de la resta com a sostracció al significat algebraic de la resta com a diferència, a través de situacions per aprendre a comparar expressions algebraiques. Així mateix, es passa de la comprensió dels signes com a operadors binaris entre dos nombres a un significat operatiu unari, és a dir, on el signe juntament amb el nombre formen una entitat. Alhora, es proporcionen tasques centrades en tècniques de càlcul que justifiquen la utilització dels parèntesis.
Per exemple, per calcular 567 + 99, l’ideal és sumar 100 i després restar 1. O en el cas de 67 − 29, que es pot fer restant 30 i sumant 1. Aquest tipus d’observacions dona pas a una de les tasques clau on s’analitzen expressions i es dedueix que restar (a − b) és el mateix que restar a i sumar b.
67 − 29 = 67 − (30 − 1) = 67 − 30 + 1 (perquè restar 29 és el mateix que restar 30 i sumar 1).
En aquest moment quedarà establerta l’estructura additiva de sumands i subtrahends.
A la tercera fase, es planteja com a objectiu introduir l’estructura multiplicativa de sumands i subtrahends, cosa que s’inicia plantejant el càlcul d’àrees de rectangles de costats desconeguts per anar introduint la propietat distributiva.
I, finalment, la quarta fase desemboca en la formalització dels enters, la qual cosa dona sentit a la notació completa (el nombre entre parèntesis amb el seu signe) i a explorar les propietats d’aquest nou conjunt de nombres.
ESCRIT PER
Pablo Beltrán Pellicer – Universitat de Saragossa
@pbeltranp
Professor titular en l’àrea de Didàctica de les Matemàtiques a la Universitat de Saragossa.
