{"id":3221,"date":"2021-10-04T07:31:04","date_gmt":"2021-10-04T05:31:04","guid":{"rendered":"https:\/\/science-teaching.org?p=3221"},"modified":"2025-12-15T13:14:48","modified_gmt":"2025-12-15T12:14:48","slug":"enfoque-didactico-para-los-enteros-en-math-bits","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/science-teaching.org\/es\/matematicas\/didactica-matematicas\/enfoque-didactico-para-los-enteros-en-math-bits","title":{"rendered":"Enfoque did\u00e1ctico para los enteros en Math Bits"},"content":{"rendered":"\n<div class=\"wp-block-spacer\" style=\"height: 10px;\" aria-hidden=\"true\">\u00a0<\/div>\n\n\n\n<p style=\"font-size:18px\"><span style=\"background-color:rgba(0, 0, 0, 0)\" class=\"has-inline-color has-black-color\">Si reflexionamos sobre los problemas habituales en que intervienen los n\u00fameros enteros en 1.\u00ba de la ESO, observaremos algo inquietante: los podr\u00eda resolver perfectamente un alumno de 3.\u00ba o 4.\u00ba de Primaria. Estos problemas, que m\u00e1s bien podr\u00edan llamarse ejercicios, tratan sobre deudas y haberes, ascensores, profundidades a las que desciende un buzo, temperaturas, edades de personajes hist\u00f3ricos, puntos ganados o perdidos en un juego, etc.<\/span><\/p>\n\n\n\n<p style=\"font-size:18px\">\u00bfAcaso es necesaria la notaci\u00f3n completa (con el n\u00famero con signo entre par\u00e9ntesis) para resolver estas cuestiones? \u00bfHace falta un conocimiento de los enteros, como estructura num\u00e9rica, para abordarlas? M\u00e1s a\u00fan,\u00bfestamos insinuando que los romanos, que desde luego no manejaban n\u00fameros enteros, no pod\u00edan resolver problemas de deudas y haberes?<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-spacer\" style=\"height: 10px;\" aria-hidden=\"true\">\u00a0<\/div>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-css-opacity is-style-default\"\/>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-spacer\" style=\"height: 20px;\" aria-hidden=\"true\">\u00a0<\/div>\n\n\n\n<p>Los enteros ofrecen un reto a los docentes. Actualmente siguen muy arraigados al bloque de aritm\u00e9tica sin ninguna raz\u00f3n que lo justifique, como una suerte de herencia de las matem\u00e1ticas modernas. En los a\u00f1os 60 y 70, esta corriente trataba de fundamentar la matem\u00e1tica escolar en la teor\u00eda de conjuntos y estructuras algebraicas. Aplicaciones, clases de equivalencia, propiedades, etc., eran t\u00e9rminos usuales en los libros de texto de aquellos a\u00f1os, y perduraron en algunos pa\u00edses hasta bien entrados los a\u00f1os 80. As\u00ed, los enteros se presentaban como un conjunto de n\u00fameros ya construido que presentaba ciertas propiedades.<\/p>\n\n\n\n<p>Los escollos que el alumnado experimenta en relaci\u00f3n con los enteros pueden rastrearse hasta el origen hist\u00f3rico de estos n\u00fameros, lo cual indica que estas dificultades no son meramente cognitivas, sino que est\u00e1n relacionadas con la naturaleza del objeto matem\u00e1tico en cuesti\u00f3n. Aunque se pueden observar ya ciertas formas de \u00abnegatividad\u00bb en las matem\u00e1ticas de la China antigua o en la <em>Arithmetica<\/em> de Diofanto, el estudio de los n\u00fameros negativos es una historia plagada de obst\u00e1culos. Entre ellos:<\/p>\n\n\n\n<ul style=\"background-color:#f4f4f4\" class=\"wp-block-list has-background\">\n<li>La dificultad para manipular cantidades negativas aisladas (Diofanto enuncia la regla de los signos, pero no reconoce cantidades negativas aisladas).<\/li>\n\n\n\n<li>La dificultad para dar significado a las cantidades negativas aisladas (Stevin, D\u2019Alembert, Carnot, quiz\u00e1s Descartes).<\/li>\n\n\n\n<li>La dificultad para unificar la recta real (puesto que los positivos y negativos se conceb\u00edan como objetos de diferente categor\u00eda, que se neutralizaban; Maclaurin, D\u2019Alembert, Carnot y Cauchy).<\/li>\n\n\n\n<li>La ambig\u00fcedad de los dos ceros (\u00bfqu\u00e9 es una cantidad menor que nada?; Stevin, Maclaurin, Carnot, Cauchy y quiz\u00e1s tambi\u00e9n Euler y Laplace).<\/li>\n\n\n\n<li>El estancamiento en el estadio de las operaciones concretas (se asume la estructura aditiva pero no la multiplicativa).<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>La propuesta que se presenta en <strong>Math Bits <\/strong>es una adaptaci\u00f3n de la propuesta de Eva Cid, investigadora en did\u00e1ctica de la matem\u00e1tica especializada en n\u00fameros enteros. Recoge el guante lanzado hace tiempo por la comunidad investigadora, la cual reconoce que no existe un modelo concreto que permita abstraer sus propiedades de manera completamente satisfactoria. Los modelos que se emplean habitualmente, como las deudas y haberes, solo permiten justificar, y de forma no plenamente satisfactoria, la estructura aditiva.<\/p>\n\n\n\n<p>Cuando, como docentes, pensamos que nos funciona ense\u00f1ar enteros con deudas y haberes es porque ya conocemos c\u00f3mo es su estructura y buscamos argumentos que se ajusten a ella. El siguiente ejemplo muestra el argumento, perfectamente leg\u00edtimo, de un alumno:<\/p>\n\n\n\n<ul style=\"background-color:#f4f4f4\" class=\"wp-block-list has-background\">\n<li>Alumno:&nbsp;(+70) \u2212 (\u221210) = + 70&nbsp;porque si tengo 70&nbsp;\u20ac y me perdonan una deuda de 10&nbsp;\u20ac, sigo teniendo 70&nbsp;\u20ac.<\/li>\n\n\n\n<li>Docente: No. Tener 70&nbsp;\u20ac y no deber nada es equivalente a tener 80&nbsp;\u20ac y deber 10&nbsp;\u20ac. Si ahora quitamos la deuda de 10&nbsp;\u20ac, nos queda un haber de 80&nbsp;\u20ac, luego&nbsp;(+70) \u2212 (\u221210) = +&nbsp;80.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Y situaciones similares ocurren con cualquier modelo concreto que se nos ocurra. Los cuales, realmente, se clasifican en dos tipos:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group\"><div class=\"wp-block-group__inner-container is-layout-constrained wp-block-group-is-layout-constrained\">\n<div style=\"height:20px\" aria-hidden=\"true\" class=\"wp-block-spacer\"><\/div>\n\n\n<p><a href=\"https:\/\/math-bits.com\/mb\/es\/descubre-math-bits\/?utm_source=istf&utm_medium=banner&utm_campaign=unidades-mb\" style=\"color:blue;\" target=\"_blank\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/science-teaching.org\/wp-content\/uploads\/2024\/05\/unidadesmb_es_2.png\" class=\"istf_random_image\" alt=\"unidadesmb_es_2\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/science-teaching.org\/wp-content\/uploads\/2024\/05\/unidadesmb_es_2_mob.png\" class=\"istf_random_image_mobile\" alt=\"unidadesmb_es_2\"><\/a><p>\n\n\n\n<div style=\"height:20px\" aria-hidden=\"true\" class=\"wp-block-spacer\"><\/div>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n<ul style=\"background-color:#f4f4f4\" class=\"wp-block-list has-background\">\n<li>Modelos de neutralizaci\u00f3n: se basan en la manipulaci\u00f3n de cantidades de magnitud con sentidos opuestos que se neutralizan entre s\u00ed. Para describirlos utilizaremos un modelo de fichas de dos colores donde se supone que cada ficha de un color neutraliza una ficha del otro color. Ejemplos: deudas y haberes, personas que entran o salen de un recinto, juegos con puntuaciones positivas o negativas, fichas de dos colores que se neutralizan, cargas el\u00e9ctricas positivas o negativas, etc.<\/li>\n\n\n\n<li>Modelos de desplazamiento: los n\u00fameros positivos o negativos pueden indicar posiciones en un sentido u otro, a partir de un origen, o desplazamientos de una posici\u00f3n en uno u otro sentido. Para describirlos vamos a utilizar un camino dividido en casillas, donde cada una es una posici\u00f3n que pueden ocupar las fichas. Estas posiciones se numeran a partir de cierta posici\u00f3n inicial, y se a\u00f1ade el signo&nbsp;+&nbsp;o&nbsp;\u2212&nbsp;seg\u00fan el sentido del recorrido. Ejemplo: el term\u00f3metro, el ascensor, las escaleras que se suben y bajan, las altitudes por encima y debajo del nivel del mar, los a\u00f1os antes y despu\u00e9s de Cristo, los caminos de doble sentido, las posiciones y desplazamientos sobre la recta real, etc.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><strong>Obst\u00e1culos de los modelos concretos<\/strong><\/h3>\n\n\n\n<p>El uso de estos modelos presupone que los enteros se trabajan en el \u00e1mbito de la aritm\u00e9tica. Tambi\u00e9n ocasiona que se invierta el proceso de modelizaci\u00f3n matem\u00e1tica. En ciencias experimentales, lo que se estudia es un fen\u00f3meno del mundo f\u00edsico que se representa mediante un modelo matem\u00e1tico que permite obtener informaci\u00f3n y hacer predicciones. En la ense\u00f1anza de la aritm\u00e9tica elemental la cosa va al rev\u00e9s. Lo que se modeliza es el objeto matem\u00e1tico por medio de un sistema f\u00edsico. El uso de modelos concretos (contextos reales y uso de manipulables) para los n\u00fameros naturales y fraccionarios reproduce intuitivamente sus propiedades e ideas de medida. Sin embargo, esto no ocurre con los enteros, que surgieron por una necesidad interna de las matem\u00e1ticas. Y, desde luego, no hay contexto real o manipulable que reproduzca de forma intuitiva su estructura. As\u00ed, la utilizaci\u00f3n de modelos concretos dificulta la justificaci\u00f3n del orden (\u00ab\u00bfpor qu\u00e9 \u22128 es menos que \u22122?\u00bb) y la estructura multiplicativa de los enteros (\u00ab\u00bfpor qu\u00e9 menos por menos es m\u00e1s?\u00bb).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#ebf8fc;font-size:14px\">Veamos un ejemplo de obst\u00e1culo en los modelos de desplazamiento. En estos modelos se define un sentido de recorrido y se dice que las posiciones anteriores son menores seg\u00fan ese sentido. As\u00ed se asume un convenio que no resulta familiar a los ni\u00f1os. Adem\u00e1s, contradice el sentido de recorrido que se utiliza para dibujar el modelo. En el caso de la recta num\u00e9rica, se define un sentido de recorrido de izquierda a derecha que permite justificar que&nbsp;\u22128&nbsp;&lt;&nbsp;\u22125&nbsp;porque&nbsp;\u22128&nbsp;est\u00e1 a la izquierda de&nbsp;\u22125. Sin embargo, los ni\u00f1os, al dibujar la recta num\u00e9rica, \u00bfqu\u00e9 hacen? <br><br>1. Representar el origen.<br>2. Hacia la derecha, van representando los puntos&nbsp;+1,&nbsp;+2,&nbsp;+3, etc.<br>3. Despu\u00e9s, dibujan los puntos&nbsp;\u22121,&nbsp;\u22122,&nbsp;\u22123, etc. <br><br>Es decir, recorren la recta desde el origen hacia la derecha y despu\u00e9s desde el origen hacia la izquierda. Ese es el sentido de recorrido que se impone y, de acuerdo con \u00e9l,&nbsp;\u22125&nbsp;se dibuja antes que&nbsp;\u22128, lo que sugiere que&nbsp;\u22125&nbsp;&lt;&nbsp;\u22128.<\/p>\n\n\n\n<p>Podr\u00edamos aportar ejemplos similares para otros modelos. De momento, ilustraremos uno m\u00e1s:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#ebf8fc;font-size:14px\">En el modelo de neutralizaci\u00f3n hay que concebir&nbsp;(\u22123)<a>&nbsp;<\/a>\u00d7&nbsp;(\u22122)&nbsp;como quitar tres veces 2&nbsp;fichas azules, deudas o cargas el\u00e9ctricas negativas o puntuaciones negativas\u2026 Las manipulaciones sucesivas nos llevan a que eso es equivalente a a\u00f1adir 6&nbsp;fichas rojas, por lo que&nbsp;(\u22123)&nbsp;\u00d7 (\u22122)&nbsp;=&nbsp;+6. <br><br>Esto significa que&nbsp;\u22123&nbsp;ya no indica 3&nbsp;fichas azules, como hasta ahora, sino que es un operador, un multiplicador que act\u00faa reiterando el t\u00e9rmino&nbsp;\u22122&nbsp;(que, en cambio, s\u00ed que indica 2&nbsp;fichas azules) y avisando de que el resultado de esa operaci\u00f3n ha de ser \u00abquitado\u00bb de alg\u00fan sitio.<br><br>Es decir, hay que interpretar que el signo que acompa\u00f1a al n\u00famero&nbsp;3&nbsp;es un signo operativo, mientras que el que acompa\u00f1a al n\u00famero&nbsp;2&nbsp;es predicativo.<br><br>Adem\u00e1s, el hecho de identificar el resultado&nbsp;+6&nbsp;con la frase \u00aba\u00f1adir 6&nbsp;fichas rojas\u00bb obliga a asumir que el signo que precede al n\u00famero 6 es a la vez predicativo y operativo.<\/p>\n\n\n\n<p>La consecuencia de todo esto es que las operaciones entre n\u00fameros enteros se presentan como operaciones entre naturales con el a\u00f1adido de alguna consideraci\u00f3n sobre los signos, como el reduccionismo consistente en \u00absuma los positivos por un lado y los negativos por otro\u00bb. Esto \u00faltimo es un claro obst\u00e1culo para captar la naturaleza de los enteros e integrarlos en un nuevo conjunto num\u00e9rico. Adem\u00e1s, conlleva que las t\u00e9cnicas de c\u00e1lculo de expresiones num\u00e9ricas que indican operaciones combinadas se algoritmizan y no se busca la forma m\u00e1s eficiente de calcularlas, algo clave en el pensamiento algebraico.<\/p>\n\n\n\n<p>De esta manera, la secuencia did\u00e1ctica habitual comienza con la presentaci\u00f3n inicial de la notaci\u00f3n completa y el alumnado va viendo c\u00f3mo, ante sus ojos, se suceden diversas notaciones sin considerarlas objetos de estudio. \u00bfC\u00f3mo es que ahora los n\u00fameros van entre par\u00e9ntesis y con signo?<\/p>\n\n\n\n<p>Esta aproximaci\u00f3n no explicita las diferencias existentes entre los enteros y los naturales:<\/p>\n\n\n\n<ul style=\"background-color:#f4f4f4\" class=\"wp-block-list has-background\">\n<li>La introducci\u00f3n de los enteros exige reinterpretar el significado del cero. Ahora ya no es el cero absoluto, sino que pasa a ser un cero origen.<\/li>\n\n\n\n<li>La resta pasa de ser una sustracci\u00f3n a ser una diferencia. Y no es lo mismo.<\/li>\n\n\n\n<li>Tambi\u00e9n se modifican propiedades que afectaban a todos los n\u00fameros, como:\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Que el resultado de una suma es mayor o igual que cualquiera de sus sumandos.<\/li>\n\n\n\n<li>Que el minuendo de una diferencia tiene que ser mayor o igual que el sustraendo.<\/li>\n\n\n\n<li>Que el resultado de un producto de factores distintos de cero es mayor o igual que cualquiera de sus factores.<\/li>\n\n\n\n<li>Que el dividendo de una divisi\u00f3n es mayor o igual que el cociente, que no existen n\u00fameros menores que cero, etc.<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Todas estas diferencias hay que ponerlas sobre la mesa en una secuencia did\u00e1ctica bien dise\u00f1ada y articulada. No hacerlo puede llevar a pensar que dichas propiedades siguen cumpli\u00e9ndose con los enteros.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><strong><strong>\u00bfQu\u00e9 hacemos entonces?<\/strong><\/strong><\/h3>\n\n\n\n<p>La propuesta se basa en presentar los enteros en un entorno algebraico y se desarrolla de forma gradual atendiendo, en primer lugar, a la ruptura que implica el \u00e1lgebra con respecto a la aritm\u00e9tica. Esta ruptura se ejemplifica ya en las primeras tareas: la soluci\u00f3n a un problema no tiene por qu\u00e9 ser un n\u00famero, puede ser una expresi\u00f3n algebraica (cuando desconocemos alguno de los datos).<\/p>\n\n\n\n<p>El desarrollo atiende a la aceptaci\u00f3n de las letras como variables (privilegiando esta concepci\u00f3n frente a la de inc\u00f3gnita), lo que posibilitar\u00e1 empezar a trabajar comparaciones y diferencias entre expresiones algebraicas y, al mismo tiempo, ir aportando significado a los signos y a la notaci\u00f3n. Se inicia as\u00ed el paso de una interpretaci\u00f3n de los signos como operativos binarios entre n\u00fameros absolutos a una interpretaci\u00f3n como signos operativos que indican que un n\u00famero es un sumando o un sustraendo.<\/p>\n\n\n\n<p>En una segunda fase, nos planteamos como objetivo pasar del significado aritm\u00e9tico de la resta como sustracci\u00f3n al significado algebraico de la resta como diferencia, a trav\u00e9s de situaciones para aprender a comparar expresiones algebraicas. As\u00ed mismo, se parte de la comprensi\u00f3n de los signos como operadores binarios entre dos n\u00fameros a un significado operativo unario, esto es, donde el signo junto con el n\u00famero forman una entidad. Al mismo tiempo, se proporcionan tareas centradas en t\u00e9cnicas de c\u00e1lculo que justifican el proceder con los par\u00e9ntesis.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#ebf8fc;font-size:14px\">Por ejemplo, para calcular 567&nbsp;+&nbsp;99, lo ideal es sumar 100 y luego restar 1. O para 67&nbsp;\u2212&nbsp;29, que se puede calcular restando 30 y sumando 1. Este tipo de observaciones da paso a una de las tareas clave donde se analizan expresiones y se deduce que restar&nbsp;(<em>a<\/em>&nbsp;\u2212&nbsp;<em>b<\/em>)&nbsp;es lo mismo que restar&nbsp;<em>a<\/em>&nbsp;y sumar&nbsp;<em>b<\/em>. <br><br>67&nbsp;\u2212&nbsp;29 = 67&nbsp;\u2212&nbsp;(30&nbsp;\u2212&nbsp;1)&nbsp;=&nbsp;67&nbsp;\u2212&nbsp;30&nbsp;+&nbsp;1 (porque restar 29 es lo mismo que restar 30 y sumar 1).<\/p>\n\n\n\n<p>En este momento va a quedar establecida la estructura aditiva de sumandos y sustraendos.<\/p>\n\n\n\n<p>En la tercera fase se plantea como objetivo introducir la estructura multiplicativa de sumandos y sustraendos, lo que se inicia planteando el c\u00e1lculo de \u00e1reas de rect\u00e1ngulos de lados desconocidos para ir introduciendo la propiedad distributiva.<\/p>\n\n\n\n<p>Y, finalmente, la cuarta fase desemboca en la formalizaci\u00f3n de los enteros, lo que da sentido a la notaci\u00f3n completa (el n\u00famero entre par\u00e9ntesis con su signo) y a explorar las propiedades de este nuevo conjunto de n\u00fameros.<\/p>\n\n\n\n<div style=\"height:12px\" aria-hidden=\"true\" class=\"wp-block-spacer\"><\/div>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-css-opacity\"\/>\n\n\n\n<p>ESCRITO POR<br><strong>Pablo Beltr\u00e1n Pellicer \u2013 Universidad de Zaragoza<\/strong><br><a href=\"https:\/\/twitter.com\/pbeltranp\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">@pbeltranp<\/a><br>Profesor titular del \u00e1rea de Did\u00e1ctica de las Matem\u00e1ticas en la Universidad de Zaragoza.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Si reflexionamos sobre los problemas habituales en que intervienen los n\u00fameros enteros en 1\u00ba de la ESO, observaremos algo inquietante: los podr\u00eda resolver perfectamente un alumno de 3\u00ba o 4\u00ba de Primaria. En este art\u00edculo, analizamos la propuesta de Math Bits para los enteros.<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":12172,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[451,450],"tags":[1118,1342,1316,1056,951,1319,1062,2390,1117,1313,1349,1051,1886,1061,1053,1054,1052,1309,880,1318,1169],"class_list":["post-3221","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-didactica-matematicas","category-matematicas","tag-algebra","tag-aprendizaje-numerico","tag-aritmetica","tag-calculo","tag-competencias","tag-didactica-de-las-matematicas","tag-ecuaciones","tag-fracciones-no-destacada","tag-habilidades","tag-indagacion","tag-numero-pi","tag-numero-racionales","tag-numeros-es","tag-numeros-enteros","tag-numeros-irracionales","tag-numeros-naturales","tag-numeros-reales","tag-resolucion-de-problemas-no-destacado","tag-secundaria","tag-situaciones-de-aprendizaje","tag-unidad","autor-pablo-beltran-pellicer"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/science-teaching.org\/es\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3221","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/science-teaching.org\/es\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/science-teaching.org\/es\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/science-teaching.org\/es\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/science-teaching.org\/es\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3221"}],"version-history":[{"count":43,"href":"https:\/\/science-teaching.org\/es\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3221\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":19543,"href":"https:\/\/science-teaching.org\/es\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3221\/revisions\/19543"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/science-teaching.org\/es\/wp-json\/wp\/v2\/media\/12172"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/science-teaching.org\/es\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3221"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/science-teaching.org\/es\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3221"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/science-teaching.org\/es\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3221"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}