{"id":17318,"date":"2025-02-26T13:47:48","date_gmt":"2025-02-26T12:47:48","guid":{"rendered":"https:\/\/science-teaching.org\/?p=17318"},"modified":"2025-12-15T13:57:29","modified_gmt":"2025-12-15T12:57:29","slug":"modelizacion-y-variacion","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/science-teaching.org\/es\/matematicas\/didactica-matematicas\/modelizacion-y-variacion","title":{"rendered":"Modelizaci\u00f3n y variaci\u00f3n"},"content":{"rendered":"\n

Modelizaci\u00f3n y variaci\u00f3n en Math Bits<\/h1>\n\n\n\n
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La propuesta did\u00e1ctica en Math Bits sobre funciones para el final de la Educaci\u00f3n Secundaria Obligatoria se articula en torno a dos grandes ideas: modelizaci\u00f3n funcional y variaci\u00f3n.<\/strong> En otras palabras, aprender a utilizar las funciones para modelizar situaciones en contextos diversos y estudiar el cambio o la variaci\u00f3n desde una perspectiva matem\u00e1tica.<\/p>\n\n\n\n

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26 de febrero de 2025<\/p>\n\n\n\n

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La modelizaci\u00f3n matem\u00e1tica, ya ha aparecido en unidades anteriores de manera impl\u00edcita, pero ahora se le dedica una atenci\u00f3n espec\u00edfica. Las tareas de modelizaci\u00f3n parten siempre de una situaci\u00f3n real que hay que comprender o resolver. <\/strong>Para ello, primero hay que construir un modelo simplificado de la situaci\u00f3n y luego hay que describirlo con herramientas matem\u00e1ticas.<\/p>\n\n\n\n

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Este proceso se trabaja detalladamente en la primera lecci\u00f3n \u00abExploramos\u00bb (\u201c<\/em>De la realidad al modelo\u201d), en la que se plantea la pregunta \u00ab\u00bfMerece la pena cruzar la frontera para rellenar el dep\u00f3sito de gasolina en el pa\u00eds vecino?\u00bb. Ante todo, vale la pena destacar que la consigna de la tarea no es \u00abminimiza el coste total\u00bb, sino que la situaci\u00f3n exige decidir qu\u00e9 aspectos se tienen en cuenta y cu\u00e1les no. Por ejemplo, adem\u00e1s del coste de la gasolina, se puede considerar el desgaste del veh\u00edculo o el coste del tiempo.<\/p>\n\n\n\n

Se trata de un contexto en el que aparecen distintas magnitudes relacionadas. Por ello, para construir un modelo matem\u00e1tico se hace necesario el uso de funciones. A partir del modelo matem\u00e1tico se obtienen una serie de resultados que luego hay que interpretar y validar en el mundo real. Esto, a su vez, puede llevar a repetir el ciclo de modelizaci\u00f3n una segunda vez para tener en cuenta factores nuevos que no se hab\u00edan considerado inicialmente.<\/p>\n\n\n\n

La ense\u00f1anza de la modelizaci\u00f3n matem\u00e1tica pasa por mantener un equilibrio permanente entre la autonom\u00eda de los estudiantes y cierta gu\u00eda por parte del profesorado. La secuencia de actividades propuesta facilita este andamiaje.<\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

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Ciclo de resoluci\u00f3n de problemas de modelizaci\u00f3n.
Fuente: elaboraci\u00f3n propia a partir del ciclo de
modelizaci\u00f3n de Blum & Lei\u00df (2007).<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n

Por ejemplo, la situaci\u00f3n de la gasolina comienza precisamente dando espacio a la reflexi\u00f3n por parte del alumnado, tal y como se muestra en la siguiente imagen:<\/p>\n\n\n\n

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Una actividad de modelizaci\u00f3n a partir de una situaci\u00f3n real.<\/p>\n\n\n\n

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Conviene detenerse en cada fase del ciclo para apoyar las rutas de modelizaci\u00f3n que escoja el alumnado, y as\u00ed fomentar la propuesta de m\u00faltiples soluciones. Las intervenciones del docente son cruciales para guiar a los estudiantes en su proceso de modelizaci\u00f3n.<\/strong> La tarea de la gasolina plantea m\u00faltiples espacios para ello, como vemos en esta imagen, donde ya se ha puesto sobre la mesa el modelo matem\u00e1tico a emplear, una funci\u00f3n af\u00edn:<\/p>\n\n\n\n

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El contexto que ofrece la actividad facilita el tr\u00e1nsito por las diferentes fases del proceso de modelizaci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n

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En la lecci\u00f3n \u00abExplicamos\u00bb posterior (\u201cModelos funcionales\u201d), se reflexiona sobre el ciclo de modelizaci\u00f3n y se presentan diversos modelos funcionales con m\u00faltiples aplicaciones: funciones de proporcionalidad directa, funciones afines, funciones cuadr\u00e1ticas, funciones polin\u00f3micas y funciones definidas a trozos.<\/p>\n\n\n\n

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Diversos modelos funcionales.<\/p>\n\n\n\n

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\"unidadesmb_es_2\"\"unidadesmb_es_2\"<\/a>

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El aprendizaje de la variaci\u00f3n<\/h3>\n\n\n\n

Una vez abordado el ciclo de modelizaci\u00f3n, la unidad pasa a enfocarse en el estudio de la variaci\u00f3n. En el fondo, se trata de un problema de modelizaci\u00f3n en s\u00ed mismo, puesto que la pregunta de partida es: \u00bfC\u00f3mo podemos modelizar matem\u00e1ticamente el cambio o la variaci\u00f3n de una magnitud? Para ello, en el siguiente \u00abExploramos\u00bb (\u201c<\/em>Dime c\u00f3mo var\u00edas y te dir\u00e9 c\u00f3mo eres\u201d) se exploran los modelos funcionales ya conocidos, pero ahora a trav\u00e9s de la idea de variaci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n

Se plantean situaciones en las que no disponemos de datos concretos de una magnitud, pero s\u00ed sabemos c\u00f3mo var\u00eda esta magnitud al variar otra magnitud. Por ejemplo, sabemos cu\u00e1nto var\u00eda la longitud de una barra met\u00e1lica al variar su temperatura. Si recopilamos estas variaciones en una tabla, podemos analizar si la magnitud en cuesti\u00f3n crece o decrece y si lo hace de manera constante o no. A partir de esta informaci\u00f3n, podemos preguntarnos c\u00f3mo es la gr\u00e1fica correspondiente a los datos y cu\u00e1l es el modelo funcional que mejor se ajusta a ellos.<\/p>\n\n\n\n

Como se ve, en esta unidad se mantiene la l\u00ednea metodol\u00f3gica de unidades anteriores; es decir, se articulan los diferentes registros de representaci\u00f3n de una funci\u00f3n: verbal, tabular, gr\u00e1fico y algebraico.<\/strong><\/p>\n\n\n\n

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La actividad lleva a reflexionar cu\u00e1l de las gr\u00e1ficas se corresponde con los datos de variaci\u00f3n facilitados.<\/p>\n\n\n\n

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Tras introducir el concepto de variaci\u00f3n, se proponen otras situaciones que hacen necesario comparar las variaciones de las dos magnitudes relacionadas. Esto lleva a definir el concepto de tasa de variaci\u00f3n media de una funci\u00f3n<\/strong>, como la raz\u00f3n entre las variaciones de ambas variables. A partir de las tasa de variaci\u00f3n media se pueden abordar tambi\u00e9n conceptos como el de m\u00e1ximo, el de m\u00ednimo o el de punto de inflexi\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n

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Actividad de exploraci\u00f3n alrededor de la idea de tasa de variaci\u00f3n media.<\/p>\n\n\n\n

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Al final de la educaci\u00f3n secundaria obligatoria, merece la pena introducir tambi\u00e9n la idea de tasa de variaci\u00f3n instant\u00e1nea.<\/strong> Se trata de la antesala del c\u00e1lculo, y la propia conexi\u00f3n entre variaci\u00f3n media e instant\u00e1nea da lugar a interesantes y profundas discusiones. Siendo conscientes de que usualmente se emplea el contexto de la velocidad media e instant\u00e1nea para mostrar estas ideas, y de que la cotidianidad puede erigirse aqu\u00ed como una dificultad, hemos querido salir de ese camino empleando un contexto algo m\u00e1s lejano para el alumnado: analizar el consumo el\u00e9ctrico para decidir qu\u00e9 potencia conviene contratar.<\/p>\n\n\n\n

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La secuencia conduce a preguntarse por el valor instant\u00e1neo de la potencia.<\/p>\n\n\n\n

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En lo referente a la continuidad de una funci\u00f3n, se procura no reducir su estudio a actividades triviales donde hay que decidir si una funci\u00f3n es continua o no, a partir de una definici\u00f3n poco rigurosa que puede crear un obst\u00e1culo did\u00e1ctico. En otras palabras, se evitan definiciones que pueden crear un obst\u00e1culo did\u00e1ctico como \u00abes continua si no levantas el l\u00e1piz del papel\u00bb. Tambi\u00e9n se evitan definiciones excesivamente formales para este curso.<\/strong><\/p>\n\n\n\n

En lugar de ello, se propone un conjunto de actividades donde se reflexiona sobre el dominio de varias funciones y, especialmente, sobre c\u00f3mo se comportan las funciones cerca de las fronteras del dominio. <\/strong>Tambi\u00e9n se analizan otros ejemplos de funciones que presentan saltos dentro de su dominio o puntos donde no tiene sentido definir la tasa de variaci\u00f3n instant\u00e1nea.<\/p>\n\n\n\n

En cuanto a la continuidad de una funci\u00f3n, no se da una definici\u00f3n expl\u00edcita, pero s\u00ed se aborda el significado del concepto.<\/p>\n\n\n\n

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\u201cInventa una funci\u00f3n que\u2026\u201d Un tipo de actividad que da mucho juego.<\/p>\n\n\n\n

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Por \u00faltimo, se introducen algunos modelos funcionales no polin\u00f3micos como las funciones de proporcionalidad inversa, las funciones racionales y las funciones irracionales. Estos modelos permiten ampliar el rango de situaciones reales que se pueden analizar matem\u00e1ticamente.<\/p>\n\n\n\n

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\u00bfQuieres saber m\u00e1s sobre las propuestas did\u00e1cticas de Math Bits?<\/mark><\/strong><\/h1>\n\n\n\n

Si est\u00e1s interesado en conocer una propuesta pedag\u00f3gica altamente motivadora para tus estudiantes, basada en la investigaci\u00f3n y el descubrimiento guiados, ponte en contacto con nosotros y te daremos acceso a las primeras unidades de muestra.<\/p>\n\n\n\n

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QUIERO M\u00c1S INFORMACI\u00d3N<\/strong><\/a><\/div>\n<\/div>\n\n\n\n
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Referencias<\/h5>\n\n\n\n

Arce S\u00e1nchez, M., Conejo Garrote, L., y Mu\u00f1oz-Escolano, J. M. (2019). Aprendizaje y ense\u00f1anza de las matem\u00e1ticas. <\/em>Madrid, Espa\u00f1a: Editorial S\u00edntesis.<\/p>\n\n\n\n

Azc\u00e1rate, C., Bosch, D., Casadevall, M. y Casellas, E., (1996). C\u00e1lculo diferencial e integral.<\/em> Madrid, Espa\u00f1a: S\u00edntesis.<\/p>\n\n\n\n

Blum, W., y Borromeo Ferri, R. (2009). Mathematical modelling: Can it be taught and learnt? Journal of mathematical modelling and application, 1<\/em>(1), 45-58.<\/p>\n\n\n\n

Blum, W. y Lei\u00df, D. (2007). How do students\u2019 and teachers deal with modelling problems? In: Haines, P.L., Galbraith, W. Blum, y S. Khan (Eds), Mathematical Modelling: Education, Engineering and Economics. <\/em>Chichester, Regne Unit: Ellis Horwood publishers.<\/p>\n\n\n\n

Cuesta Borges, A., Escalante Vega, J. E., y Ruiz-Hidalgo, J. F. (2016). Velocidad. Significados manifestados por estudiantes universitarios a partir de representaciones gr\u00e1ficas. Avances de Investigaci\u00f3n en Educaci\u00f3n Matem\u00e1tica, 9<\/em>, 105-125.<\/p>\n\n\n\n

Tall, D. (2012). A Sensible approach to the calculus. El c\u00e1lculo y su ense\u00f1anza, 3<\/em>, 81-128.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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