{"id":15111,"date":"2024-07-08T11:51:46","date_gmt":"2024-07-08T09:51:46","guid":{"rendered":"https:\/\/science-teaching.org\/?p=15111"},"modified":"2025-12-15T13:11:52","modified_gmt":"2025-12-15T12:11:52","slug":"el-aprendizaje-de-la-geometria-en-math-bits","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/science-teaching.org\/es\/matematicas\/didactica-matematicas\/el-aprendizaje-de-la-geometria-en-math-bits","title":{"rendered":"El aprendizaje de la geometr\u00eda en Math Bits"},"content":{"rendered":"\n

El aprendizaje de la geometr\u00eda en Math Bits<\/h1>\n\n\n\n
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Las matem\u00e1ticas en la Educaci\u00f3n Primaria y al comienzo de la Educaci\u00f3n Secundaria no pueden quedar reducidas a la aritm\u00e9tica ni, a partir de ahora, al \u00e1lgebra. Resulta habitual que este \u00e9nfasis injustificado en la aritm\u00e9tica o en el \u00e1lgebra ocasione que otras \u00e1reas, como la geometr\u00eda, la probabilidad o la estad\u00edstica queden relegadas a un segundo plano. En el caso de la geometr\u00eda ocurre que muchas veces se produce una \u00abaritmetizaci\u00f3n\u00bb o \u00abalgebrizaci\u00f3n prematura\u00bb de la misma, al reducirla a la aplicaci\u00f3n trivial de unas f\u00f3rmulas en situaciones prefijadas.<\/p>\n\n\n\n

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5 de julio de 2024<\/mark><\/p>\n\n\n\n

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Aprender geometr\u00eda implica identificar, representar y clasificar formas, descubrir sus propiedades y relaciones, describir sus movimientos y, sobre todo, razonar con todos estos elementos.<\/strong> Estas caracter\u00edsticas se enfatizan en los nuevos curr\u00edculos al incorporar la idea de sentido<\/em>, recogiendo todo esto en lo que se denomina sentido espacial<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

Como el razonamiento, la argumentaci\u00f3n, la conjetura y la prueba son esenciales en geometr\u00eda, conviene reflexionar sobre los diferentes niveles de razonamiento en geometr\u00eda que nos podemos encontrar en nuestro alumnado y sobre c\u00f3mo facilitar su desarrollo. Para ello el modelo introducido por Dina y Pierre van Hiele (van Hiele, 1986) constituye un marco muy \u00fatil y todav\u00eda vigente (aunque a lo largo de los a\u00f1os se ha matizado y adaptado), tanto para el dise\u00f1o de actividades como para su gesti\u00f3n en el aula o realizar una evaluaci\u00f3n de la comprensi\u00f3n del alumnado (Guti\u00e9rrez y Jaime, 2012; NCTM, 2000).<\/p>\n\n\n\n

Al comienzo de la Educaci\u00f3n Secundaria nos encontraremos con que los estudiantes se encuentran en alguno de los tres primeros niveles de los cinco establecidos por Van Hiele. El objetivo en 1\u00ba y 2\u00ba curso de Educaci\u00f3n Secundaria, como veremos, ser\u00e1 facilitar la llegada al tercer nivel.<\/p>\n\n\n\n

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Nivel 1<\/mark>
<\/strong>(Visualizaci\u00f3n)<\/p>\n\n\n\n

La persona reconoce las figuras geom\u00e9tricas por su apariencia, vi\u00e9ndolas como un todo desprovisto de componentes o atributos, quiz\u00e1, compar\u00e1ndolas con un prototipo conocido (puerta, ventana). En este nivel no se reconocen las partes que componen la figura ni se explicitan las propiedades esenciales de la figura. No hay apenas razonamiento, solo percepci\u00f3n. Las actividades correspondientes a este nivel van enfocadas a aprender vocabulario geom\u00e9trico, identificar formas y reproducir figuras.<\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

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Nivel 2<\/mark>
<\/strong>(An\u00e1lisis)<\/p>\n\n\n\n

El alumnado que razona a este nivel empieza a distinguir las caracter\u00edsticas propias de cada figura, a trav\u00e9s de la observaci\u00f3n y la experimentaci\u00f3n. Se emplean propiedades geom\u00e9tricas para abstraer clases de figuras (p. ej., los rect\u00e1ngulos tienen las diagonales iguales), pero no se llega a establecer relaciones entre distintas clases (p. ej., cuadrados, rombos y rect\u00e1ngulos no se perciben como paralelogramos). Desde este nivel, el alumnado propone definiciones enumerando varias caracter\u00edsticas de una figura, posiblemente con omisiones y\/o redundancias. Las justificaciones de estas propiedades se realizan en base a unos pocos casos particulares.<\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

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Nivel 3<\/mark>
<\/strong>(Deducci\u00f3n informal)<\/p>\n\n\n\n

A veces, tambi\u00e9n llamado nivel de abstracci\u00f3n o de clasificaci\u00f3n. En este nivel de razonamiento se conectan diferentes propiedades y se relacionan clases de figuras. De esta manera, se comprende que una clase est\u00e9 incluida en otra (p. ej., el cuadrado es un tipo de rect\u00e1ngulo). Las definiciones de las figuras ya no consisten en un simple listado de propiedades, sino que adquieren un significado en s\u00ed mismas y, por lo tanto, son concisas y suficientes para describir la figura en cuesti\u00f3n. Se deduce de manera informal, conviviendo este tipo de deducciones con resultados emp\u00edricos particulares. Aunque no se alcanza a comprender la estructura axiom\u00e1tica de una deducci\u00f3n formal (construir una demostraci\u00f3n a partir de unas premisas) pueden llegar a seguir y apreciar pruebas formales.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n

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La propuesta de actividades que planteamos en Math Bits<\/strong> tiene en cuenta la disparidad de niveles que puede haber en el aula, y facilita el paso a niveles superiores mediante las actividades de exploraci\u00f3n. Ya desde el v\u00eddeo y las preguntas del \u00ab<\/span>Empezamos\u00bb<\/span> est\u00e1 muy presente esta idea, promoviendo que el alumnado reflexione sobre algo tan \u2014aparentemente\u2014 sencillo como el concepto de punto. De hecho, con estas actividades iniciales se pone sobre la mesa otro concepto clave, de manera impl\u00edcita, que es el de lugar geom\u00e9trico.<\/p>\n\n\n\n

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\u00bfSer\u00edas capaz de <\/em>definir lo que es una circunferencia a partir del concepto de <\/em>punto? Es m\u00e1s, \u00bfen qu\u00e9 consiste <\/em>definir bien?<\/em><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n

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El primer Exploramos y su Explicamos asociado atienden a los conceptos de perpendicularidad y paralelismo. No son conceptos desconocidos para el alumnado, pero en nuestra propuesta este Exploramos es clave, pues es una primera toma de contacto con el razonamiento caracter\u00edstico de la geometr\u00eda pura o sint\u00e9tica. Se explorar\u00e1n situaciones en las que se cortan dos rectas o en las que dos rectas son cortadas por una transversal. De las relaciones entre los \u00e1ngulos que se forman podr\u00e1n deducirse condiciones para la perpendicularidad o el paralelismo. No se trata de aprender sin m\u00e1s las condiciones, sino de argumentar su origen y apreciar la riqueza de aportar definiciones alternativas y dobles implicaciones.<\/p>\n\n\n\n

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A continuaci\u00f3n, nos adentraremos en la idea de lugar geom\u00e9trico<\/em>, con actividades que promueven este significado de manera impl\u00edcita, gracias al dise\u00f1o did\u00e1ctico. De esta manera, la mediatriz como lugar geom\u00e9trico; es decir, como el objeto formado por los puntos que equidistan a los extremos de un segmento, emerge a partir de una situaci\u00f3n-problema en la que hay que situar puntos<\/strong> (localizaciones para un refugio de monta\u00f1a) a la misma distancia de dos puntos concretos.<\/strong> A partir de ah\u00ed, la propuesta se enriquece explorando la construcci\u00f3n (\u00a1y la argumentaci\u00f3n de dicha construcci\u00f3n!) y se completa con diversas situaciones-problema en torno a la idea de mediatriz, como la exploraci\u00f3n del circuncentro de un tri\u00e1ngulo.<\/p>\n\n\n\n

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Mediatriz como lugar geom\u00e9trico.<\/em><\/figcaption>\n\n\n\n
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La bisectriz como lugar geom\u00e9trico se explora mediante un contexto en el que hay que decidir posibles localizaciones para una gasolinera (que est\u00e9 a la misma distancia de dos carreteras).<\/p>\n\n\n\n

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\"unidadesmb_es_1\"\"unidadesmb_es_1\"<\/a>

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Bisectriz como lugar geom\u00e9trico.<\/em><\/figcaption>\n\n\n\n
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La circunferencia inscrita, cuyo centro es el incentro (intersecci\u00f3n de las bisectrices), tambi\u00e9n es objeto del \u00ab<\/span>Exploramos\u00bb<\/span> de la bisectriz.<\/p>\n\n\n\n

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Incentro de un tri\u00e1ngulo<\/em>.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n
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La propuesta contin\u00faa con una serie de actividades centradas en clasificaciones de tri\u00e1ngulos y cuadril\u00e1teros. En el caso de los tri\u00e1ngulos, adem\u00e1s, se exploran cuestiones interesantes sobre ellos que no deber\u00edan ser desconocidas para nuestro alumnado. \u00bfSiempre se puede construir un tri\u00e1ngulo con tres segmentos? \u00bfQu\u00e9 condici\u00f3n deben satisfacer los segmentos? \u00bfPor qu\u00e9 la suma de los \u00e1ngulos de un tri\u00e1ngulo es 180\u00ba?  Con ello, pretendemos facilitar el paso de un razonamiento basado exclusivamente en la apariencia de las figuras a un razonamiento basado en sus propiedades como objetos geom\u00e9tricos y que permita ir trabajando la deducci\u00f3n informal.<\/strong><\/p>\n\n\n\n

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Clasificaciones de los tri\u00e1ngulos y construcci\u00f3n con regla y comp\u00e1s.<\/em><\/figcaption>\n\n\n\n
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Es habitual que gran parte del alumnado solamente considere criterios exclusivos de clasificaci\u00f3n, de forma que un tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero no sea considerado como is\u00f3sceles. La puesta en pr\u00e1ctica de criterios inclusivos, que dan lugar a clasificaciones jer\u00e1rquicas, donde una clase de objetos puede estar incluida en otra, exige relacionar diferentes propiedades y es clave para avanzar en los niveles de razonamiento.<\/strong> En el caso de los cuadril\u00e1teros, se vuelve a plantear el problema de la clasificaci\u00f3n, as\u00ed como la cuesti\u00f3n de la definici\u00f3n como objeto de estudio en s\u00ed misma. Es decir, \u00ab<\/span>\u00bfQu\u00e9 es definir en geometr\u00eda? \u00bfC\u00f3mo es una buena definici\u00f3n?\u00bb.<\/span> Estas preguntas nos llevar\u00e1n a identificar conjuntos de propiedades esenciales para cada clase de cuadril\u00e1teros, pudiendo existir definiciones alternativas para una misma clase. Estas definiciones ser\u00e1n las que den argumentos para construir los diferentes cuadril\u00e1teros con regla y comp\u00e1s.<\/p>\n\n\n\n

La medida de \u00e1reas es un contenido habitual y de gran inter\u00e9s para la geometr\u00eda. Ahora, la geometr\u00eda m\u00e9trica no ha de quedar reducida, como apunt\u00e1bamos al principio, a aprenderse unas f\u00f3rmulas y hacer operaciones con ellas. Conviene empezar poniendo de manifiesto qu\u00e9 es medir el \u00e1rea, porque muchas veces ocurre que parte del alumnado no tiene experiencia en medida directa de \u00e1reas. Es importante que sea consciente de que la medida del \u00e1rea de una superficie se obtiene recubriendo esta superficie con una unidad. En dicho proceso, quiz\u00e1 haya que recomponer la superficie o fraccionar la unidad de medida. Son estas t\u00e9cnicas de medida directa las que permitir\u00e1n encontrar las formas de c\u00e1lculo indirecto de las \u00e1reas, a trav\u00e9s de longitudes espec\u00edficas (lados, alturas, diagonales) de los diferentes pol\u00edgonos por descomposici\u00f3n y recomposici\u00f3n. El foco no est\u00e1, por tanto, en el aprendizaje de las f\u00f3rmulas de las \u00e1reas, sino en los argumentos que permiten obtener esas expresiones algebraicas y que, en caso de olvido o de un nuevo tipo de figura, permitir\u00edan el c\u00e1lculo del \u00e1rea de una superficie formada por un conjunto de pol\u00edgonos.<\/strong> La clave de la lecci\u00f3n \u00ab<\/span>Todo son rect\u00e1ngulos\u00bb<\/span> (Exploramos) es recomponer figuras para encontrar un rect\u00e1ngulo de la misma \u00e1rea.<\/p>\n\n\n\n

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Recomposici\u00f3n de un rombo para construir un rect\u00e1ngulo equivalente (de la misma \u00e1rea).<\/em><\/figcaption>\n\n\n\n
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Finalmente, el n\u00famero \u03c0 exige un tratamiento especial. Su car\u00e1cter irracional es inc\u00f3modo en estos niveles educativos. Proponemos en este \u00ab<\/span>Exploramos\u00bb<\/span> una secuencia de actividades para dotar de significado a \u03c0 como la raz\u00f3n entre la longitud de una circunferencia y su di\u00e1metro y acercarnos a su valor aproximado. De esta manera, conectando con el \u00abExploramos\u00bb de medida de \u00e1reas de pol\u00edgonos, se abordar\u00e1 el problema del \u00e1rea del c\u00edrculo, el c\u00e1lculo de longitudes de arco y \u00e1reas de sectores.<\/strong>
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Longitud de la circunferencia.<\/em><\/figcaption>\n<\/div>\n\n\n\n
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\u00c1rea del c\u00edrculo.<\/em><\/figcaption>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n
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\u00bfQuieres saber m\u00e1s sobre las propuestas did\u00e1cticas de Math Bits?<\/mark><\/strong><\/h1>\n\n\n\n

Si est\u00e1s interesado en conocer una propuesta pedag\u00f3gica altamente motivadora para tus estudiantes, basada en la investigaci\u00f3n y el descubrimiento guiados, ponte en contacto con nosotros y te daremos acceso a las primeras unidades de muestra.<\/p>\n\n\n\n

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QUIERO M\u00c1S INFORMACI\u00d3N<\/strong><\/a><\/div>\n<\/div>\n\n\n\n
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Referencias<\/h5>\n\n\n\n

Adem\u00e1s de los trabajos que mencionaremos posteriormente, varias de las ideas de las actividades est\u00e1n recogidas en sitios de referencia como NRICH.<\/p>\n\n\n\n

Arnal-Bailera, A. (2013). Mediaci\u00f3n tecnol\u00f3gica en la ense\u00f1anza y el aprendizaje de Geometr\u00eda con grupos de riesgo : estudio m\u00faltiple de casos<\/em>. Tesis doctoral. Cerda\u00f1ola del Vall\u00e9s, Espa\u00f1a: Universidad Aut\u00f3noma de Barcelona.<\/p>\n\n\n\n

Fuys, D., Geddes, D., y Tischler, R. (1988). The Van Hiele model of thinking in geometry among adolescents. Journal for Research in Mathematics Education<\/em> Monograph, 3<\/em>, i+1-196.<\/p>\n\n\n\n

Guti\u00e9rrez, \u00c1., y Jaime, A. (2012). Reflexiones sobre la ense\u00f1anza de la geometr\u00eda en primaria y secundaria. Tecn\u00e9, Episteme y Didaxis: TED, 32<\/em>, 55-70.<\/p>\n\n\n\n

Johnston-Wilder, S., y Mason, J. (Eds.). (2005). Developing thinking in geometry<\/em>. Londres, Reino Unido: Open University in association with Paul Chapman Publishing.<\/p>\n\n\n\n

National Council of Teachers of Mathematics (Ed.). (2000). <\/span>Principles and standards for school mathematics<\/span><\/i>. Reston, VA, Estados Unidos: National Council of Teachers of Mathematics.<\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

En esta unidad de Math Bits veremos como aprender geometr\u00eda implica identificar, representar y clasificar formas, descubrir sus propiedades y relaciones, describir sus movimientos y, sobre todo, razonar con todos estos elementos. Estas caracter\u00edsticas se enfatizan en los nuevos curr\u00edculos al incorporar la idea de sentido<\/i>, recogiendo todo esto en lo que se denomina sentido espacial<\/i>.<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":15183,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[451],"tags":[1118,2367,1316,1033,951,1258,1319,1167,1307,1945,1310,1302,1404,1303,1032,1405,1406,1117,1313,1217,2017,1323,1403,1037,1314,1309,880,1318,1038,1407,1169],"class_list":["post-15111","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-didactica-matematicas","tag-algebra","tag-aprender-matematicas","tag-aritmetica","tag-cavalieri","tag-competencias","tag-didactica","tag-didactica-de-las-matematicas","tag-docente","tag-educacion-matematica","tag-educacion-matematica-no-destacada","tag-ensenanza-matematica","tag-ensenar-matematicas","tag-estadistica","tag-estudiar-matematicas","tag-geometria","tag-geometria-del-plano","tag-geometria-no-destacada","tag-habilidades","tag-indagacion","tag-matematicas","tag-math-bits","tag-pensamiento-matematico","tag-pitagoras","tag-poliedros","tag-profesor-de-matematicas","tag-resolucion-de-problemas-no-destacado","tag-secundaria","tag-situaciones-de-aprendizaje","tag-tales","tag-teselado-del-plano","tag-unidad"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/science-teaching.org\/es\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/15111","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/science-teaching.org\/es\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/science-teaching.org\/es\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/science-teaching.org\/es\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/science-teaching.org\/es\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=15111"}],"version-history":[{"count":67,"href":"https:\/\/science-teaching.org\/es\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/15111\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":19541,"href":"https:\/\/science-teaching.org\/es\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/15111\/revisions\/19541"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/science-teaching.org\/es\/wp-json\/wp\/v2\/media\/15183"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/science-teaching.org\/es\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=15111"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/science-teaching.org\/es\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=15111"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/science-teaching.org\/es\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=15111"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}