{"id":11882,"date":"2023-12-22T12:17:57","date_gmt":"2023-12-22T11:17:57","guid":{"rendered":"https:\/\/science-teaching.org\/?p=11882"},"modified":"2025-12-15T14:47:23","modified_gmt":"2025-12-15T13:47:23","slug":"polinomios-y-funciones-cuadraticas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/science-teaching.org\/es\/matematicas\/polinomios-y-funciones-cuadraticas","title":{"rendered":"Polinomios y funciones cuadr\u00e1ticas"},"content":{"rendered":"\n<h1 class=\"wp-block-heading has-text-align-center has-x-large-font-size\">Polinomios y funciones cuadr\u00e1ticas<\/h1>\n\n\n\n<div style=\"height:4px\" aria-hidden=\"true\" class=\"wp-block-spacer\"><\/div>\n\n\n\n<p class=\"postdate-to-change has-cyan-bluish-gray-color has-text-color has-link-color wp-elements-49efe01ac900f66ce51b2c2f13ab2845\" style=\"font-size:14px\">22 de diciembre de 2023<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center has-medium-font-size\">Descubre y explora la esencia de la unidad <em>Polinomios y funciones cuadr\u00e1ticas<\/em>. Esta gu\u00eda te ayudar\u00e1 a sacar m\u00e1s partido a los materiales de Math Bits.<\/p>\n\n\n\n<div style=\"height:10px\" aria-hidden=\"true\" class=\"wp-block-spacer\"><\/div>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1920\" height=\"1080\" src=\"https:\/\/science-teaching.org\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/Banner_landing_mbu114_1920x1080_es.jpg\" alt=\"Polinomios y funciones cuadraticas\" class=\"wp-image-11901\" srcset=\"https:\/\/science-teaching.org\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/Banner_landing_mbu114_1920x1080_es.jpg 1920w, https:\/\/science-teaching.org\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/Banner_landing_mbu114_1920x1080_es-300x169.jpg 300w, https:\/\/science-teaching.org\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/Banner_landing_mbu114_1920x1080_es-1024x576.jpg 1024w, https:\/\/science-teaching.org\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/Banner_landing_mbu114_1920x1080_es-768x432.jpg 768w, https:\/\/science-teaching.org\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/Banner_landing_mbu114_1920x1080_es-1536x864.jpg 1536w, https:\/\/science-teaching.org\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/Banner_landing_mbu114_1920x1080_es-700x394.jpg 700w\" sizes=\"auto, (max-width: 1920px) 100vw, 1920px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<div style=\"height:15px\" aria-hidden=\"true\" class=\"wp-block-spacer\"><\/div>\n\n\n\n<p style=\"font-size:19px\">La unidad comienza recuperando el contexto intramatem\u00e1tico del c\u00e1lculo de \u00e1reas de figuras rectangulares, en donde una de las dimensiones se aumenta o disminuye una longitud variable.<strong> El \u00e1lgebra, de esta manera, nos ayuda a modelizar una situaci\u00f3n que nos permitir\u00e1 luego reflexionar sobre el propio lenguaje algebraico y la gesti\u00f3n de los signos. <\/strong>El hilo argumental arranca, por tanto, con el problema del producto de expresiones algebraicas. La reflexi\u00f3n sobre estas situaciones, una vez exploradas, permite abreviar las operaciones algebraicas que hay que efectuar, ya que se reconocen ciertos patrones (identidades notables).<\/p>\n\n\n\n<div style=\"height:17px\" aria-hidden=\"true\" class=\"wp-block-spacer\"><\/div>\n\n\n\n\t\t<style type=\"text\/css\">\n\t\t\t#gallery-1 {\n\t\t\t\tmargin: auto;\n\t\t\t}\n\t\t\t#gallery-1 .gallery-item {\n\t\t\t\tfloat: left;\n\t\t\t\tmargin-top: 10px;\n\t\t\t\ttext-align: center;\n\t\t\t\twidth: 100%;\n\t\t\t}\n\t\t\t#gallery-1 img {\n\t\t\t\tborder: 2px solid #cfcfcf;\n\t\t\t}\n\t\t\t#gallery-1 .gallery-caption {\n\t\t\t\tmargin-left: 0;\n\t\t\t}\n\t\t\t\/* see gallery_shortcode() in wp-includes\/media.php *\/\n\t\t<\/style>\n\t\t<div id='gallery-1' class='gallery galleryid-11882 gallery-columns-1 gallery-size-full'><dl class='gallery-item'>\n\t\t\t<dt class='gallery-icon landscape'>\n\t\t\t\t<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1552\" height=\"970\" src=\"https:\/\/science-teaching.org\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/mbu114e1_pg1_ap7_es.jpg\" class=\"attachment-full size-full\" alt=\"\" aria-describedby=\"gallery-1-11884\" srcset=\"https:\/\/science-teaching.org\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/mbu114e1_pg1_ap7_es.jpg 1552w, https:\/\/science-teaching.org\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/mbu114e1_pg1_ap7_es-300x188.jpg 300w, https:\/\/science-teaching.org\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/mbu114e1_pg1_ap7_es-1024x640.jpg 1024w, https:\/\/science-teaching.org\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/mbu114e1_pg1_ap7_es-768x480.jpg 768w, https:\/\/science-teaching.org\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/mbu114e1_pg1_ap7_es-1536x960.jpg 1536w, https:\/\/science-teaching.org\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/mbu114e1_pg1_ap7_es-700x438.jpg 700w\" sizes=\"auto, (max-width: 1552px) 100vw, 1552px\" \/>\n\t\t\t<\/dt>\n\t\t\t\t<dd class='wp-caption-text gallery-caption' id='gallery-1-11884'>\n\t\t\t\tC\u00e1lculo de \u00e1reas de rect\u00e1ngulos como contexto para explorar la multiplicaci\u00f3n de expresiones algebraicas.\n\t\t\t\t<\/dd><\/dl><br style=\"clear: both\" \/>\n\t\t<\/div>\n\n\n\n<div style=\"height:12px\" aria-hidden=\"true\" class=\"wp-block-spacer\"><\/div>\n\n\n\n<p style=\"font-size:19px\">Dando la vuelta al contexto anterior, si lo que se pretende es averiguar la longitud de un lado del rect\u00e1ngulo siendo conocida su \u00e1rea, cobra sentido estudiar la divisi\u00f3n de expresiones algebraicas. Este es, habitualmente, un punto problem\u00e1tico para gran parte del alumnado. Por un lado, se suele abordar desde un punto de vista exclusivamente sint\u00e1ctico, a partir de reglas que se han ido aprendiendo sin saber muy bien de d\u00f3nde salen. Por otro lado, el docente de secundaria espera que el alumnado relacione el algoritmo de la divisi\u00f3n en caja para polinomios con la divisi\u00f3n en caja para naturales. <\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group\"><div class=\"wp-block-group__inner-container is-layout-constrained wp-block-group-is-layout-constrained\">\n<div style=\"height:20px\" aria-hidden=\"true\" class=\"wp-block-spacer\"><\/div>\n\n\n<p><a href=\"https:\/\/math-bits.com\/mb\/es\/descubre-math-bits\/?utm_source=istf&utm_medium=banner&utm_campaign=unidades-mb\" style=\"color:blue;\" target=\"_blank\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/science-teaching.org\/wp-content\/uploads\/2024\/05\/unidadesmb_es_1.png\" class=\"istf_random_image\" alt=\"unidadesmb_es_1\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/science-teaching.org\/wp-content\/uploads\/2024\/05\/unidadesmb_es_1_mob.png\" class=\"istf_random_image_mobile\" alt=\"unidadesmb_es_1\"><\/a><p>\n\n\n\n<div style=\"height:20px\" aria-hidden=\"true\" class=\"wp-block-spacer\"><\/div>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n<p style=\"font-size:19px\">Con respecto a esto \u00faltimo, puede ocurrir que el alumnado no le haya encontrado sentido en su momento y que, por ejemplo, no sea consciente de que en cada fase hay una resta (recordemos que en el algoritmo tradicional, de manera muy poco fundamentada, la resta no se escribe). Tambi\u00e9n puede pasar que el alumnado haya visto la divisi\u00f3n con otros algoritmos. Sin embargo, la cuesti\u00f3n principal es que el algoritmo de la divisi\u00f3n en caja para polinomios es muy diferente al de la divisi\u00f3n en caja para naturales. Por este motivo, <strong>aqu\u00ed planteamos una divisi\u00f3n de n\u00fameros naturales con un algoritmo \u00abextra\u00f1o\u00bb que, a ojos del que conoce el tradicional, parecer\u00eda incorrecto.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<div style=\"height:24px\" aria-hidden=\"true\" class=\"wp-block-spacer\"><\/div>\n\n\n\n\t\t<style type=\"text\/css\">\n\t\t\t#gallery-2 {\n\t\t\t\tmargin: auto;\n\t\t\t}\n\t\t\t#gallery-2 .gallery-item {\n\t\t\t\tfloat: left;\n\t\t\t\tmargin-top: 10px;\n\t\t\t\ttext-align: center;\n\t\t\t\twidth: 100%;\n\t\t\t}\n\t\t\t#gallery-2 img {\n\t\t\t\tborder: 2px solid #cfcfcf;\n\t\t\t}\n\t\t\t#gallery-2 .gallery-caption {\n\t\t\t\tmargin-left: 0;\n\t\t\t}\n\t\t\t\/* see gallery_shortcode() in wp-includes\/media.php *\/\n\t\t<\/style>\n\t\t<div id='gallery-2' class='gallery galleryid-11882 gallery-columns-1 gallery-size-full'><dl class='gallery-item'>\n\t\t\t<dt class='gallery-icon landscape'>\n\t\t\t\t<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1280\" height=\"800\" src=\"https:\/\/science-teaching.org\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/mbu114_e2_pg1_ap4-6_es-1.gif\" class=\"attachment-full size-full\" alt=\"\" aria-describedby=\"gallery-2-11911\" \/>\n\t\t\t<\/dt>\n\t\t\t\t<dd class='wp-caption-text gallery-caption' id='gallery-2-11911'>\n\t\t\t\tAlgoritmo \u00abespecial\u00bb de la divisi\u00f3n en caja que admite cifras con signo negativo y que resulta coherente con el habitual para la divisi\u00f3n de expresiones polin\u00f3micas.\n\t\t\t\t<\/dd><\/dl><br style=\"clear: both\" \/>\n\t\t<\/div>\n\n\n\n<div style=\"height:25px\" aria-hidden=\"true\" class=\"wp-block-spacer\"><\/div>\n\n\n\n<p style=\"font-size:19px\">Una vez comprendido el algoritmo, <strong>la secuencia explora la misma idea pero con polinomios, mostrando de manera muy clara un trabajo matem\u00e1tico desde el punto de vista del pensamiento computacional. <\/strong>A partir de lo realizado con la multiplicaci\u00f3n y la divisi\u00f3n, la secuencia se enfoca en la factorizaci\u00f3n de expresiones algebraicas.<\/p>\n\n\n\n<div style=\"height:21px\" aria-hidden=\"true\" class=\"wp-block-spacer\"><\/div>\n\n\n\n\t\t<style type=\"text\/css\">\n\t\t\t#gallery-3 {\n\t\t\t\tmargin: auto;\n\t\t\t}\n\t\t\t#gallery-3 .gallery-item {\n\t\t\t\tfloat: left;\n\t\t\t\tmargin-top: 10px;\n\t\t\t\ttext-align: center;\n\t\t\t\twidth: 100%;\n\t\t\t}\n\t\t\t#gallery-3 img {\n\t\t\t\tborder: 2px solid #cfcfcf;\n\t\t\t}\n\t\t\t#gallery-3 .gallery-caption {\n\t\t\t\tmargin-left: 0;\n\t\t\t}\n\t\t\t\/* see gallery_shortcode() in wp-includes\/media.php *\/\n\t\t<\/style>\n\t\t<div id='gallery-3' class='gallery galleryid-11882 gallery-columns-1 gallery-size-full'><dl class='gallery-item'>\n\t\t\t<dt class='gallery-icon landscape'>\n\t\t\t\t<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1548\" height=\"971\" src=\"https:\/\/science-teaching.org\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/mbu114_e2_pg1_ap7_es.jpg\" class=\"attachment-full size-full\" alt=\"\" aria-describedby=\"gallery-3-11890\" srcset=\"https:\/\/science-teaching.org\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/mbu114_e2_pg1_ap7_es.jpg 1548w, https:\/\/science-teaching.org\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/mbu114_e2_pg1_ap7_es-300x188.jpg 300w, https:\/\/science-teaching.org\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/mbu114_e2_pg1_ap7_es-1024x642.jpg 1024w, https:\/\/science-teaching.org\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/mbu114_e2_pg1_ap7_es-768x482.jpg 768w, https:\/\/science-teaching.org\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/mbu114_e2_pg1_ap7_es-1536x963.jpg 1536w, https:\/\/science-teaching.org\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/mbu114_e2_pg1_ap7_es-700x439.jpg 700w\" sizes=\"auto, (max-width: 1548px) 100vw, 1548px\" \/>\n\t\t\t<\/dt>\n\t\t\t\t<dd class='wp-caption-text gallery-caption' id='gallery-3-11890'>\n\t\t\t\tReflexiones previas al estudio de t\u00e9cnicas de divisi\u00f3n de expresiones algebraicas\n\t\t\t\t<\/dd><\/dl><br style=\"clear: both\" \/>\n\t\t<\/div>\n\n\n\n<div style=\"height:14px\" aria-hidden=\"true\" class=\"wp-block-spacer\"><\/div>\n\n\n\n<p style=\"font-size:19px\">A continuaci\u00f3n, se exploran las expresiones cuadr\u00e1ticas desde un enfoque funcional. De esta manera, una serie de interactivos virtuales permite estudiar esta familia de funciones y, en particular, el significado de los par\u00e1metros en cada forma de expresi\u00f3n. <strong>Es interesante que todo esto se presenta articulando los registros gr\u00e1fico y algebraico, sin necesidad de operar en el algebraico en una primera instancia.<\/strong> Este modo de proceder sigue la filosof\u00eda presente en anteriores unidades sobre funciones y permite centrarse en los significados de los objetos matem\u00e1ticos involucrados.<\/p>\n\n\n\n<div style=\"height:21px\" aria-hidden=\"true\" class=\"wp-block-spacer\"><\/div>\n\n\n\n\t\t<style type=\"text\/css\">\n\t\t\t#gallery-4 {\n\t\t\t\tmargin: auto;\n\t\t\t}\n\t\t\t#gallery-4 .gallery-item {\n\t\t\t\tfloat: left;\n\t\t\t\tmargin-top: 10px;\n\t\t\t\ttext-align: center;\n\t\t\t\twidth: 100%;\n\t\t\t}\n\t\t\t#gallery-4 img {\n\t\t\t\tborder: 2px solid #cfcfcf;\n\t\t\t}\n\t\t\t#gallery-4 .gallery-caption {\n\t\t\t\tmargin-left: 0;\n\t\t\t}\n\t\t\t\/* see gallery_shortcode() in wp-includes\/media.php *\/\n\t\t<\/style>\n\t\t<div id='gallery-4' class='gallery galleryid-11882 gallery-columns-1 gallery-size-full'><dl class='gallery-item'>\n\t\t\t<dt class='gallery-icon landscape'>\n\t\t\t\t<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1550\" height=\"968\" src=\"https:\/\/science-teaching.org\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/mbu114_e6_pg1_ap7_es.jpg\" class=\"attachment-full size-full\" alt=\"\" aria-describedby=\"gallery-4-11893\" srcset=\"https:\/\/science-teaching.org\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/mbu114_e6_pg1_ap7_es.jpg 1550w, https:\/\/science-teaching.org\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/mbu114_e6_pg1_ap7_es-300x187.jpg 300w, https:\/\/science-teaching.org\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/mbu114_e6_pg1_ap7_es-1024x640.jpg 1024w, https:\/\/science-teaching.org\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/mbu114_e6_pg1_ap7_es-768x480.jpg 768w, https:\/\/science-teaching.org\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/mbu114_e6_pg1_ap7_es-1536x959.jpg 1536w, https:\/\/science-teaching.org\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/mbu114_e6_pg1_ap7_es-700x437.jpg 700w\" sizes=\"auto, (max-width: 1550px) 100vw, 1550px\" \/>\n\t\t\t<\/dt>\n\t\t\t\t<dd class='wp-caption-text gallery-caption' id='gallery-4-11893'>\n\t\t\t\tInteractivo que permite explorar la relaci\u00f3n entre la gr\u00e1fica y los par\u00e1metros de las diferentes representaciones algebraicas de una funci\u00f3n cuadr\u00e1tica.\n\t\t\t\t<\/dd><\/dl><br style=\"clear: both\" \/>\n\t\t<\/div>\n\n\n\n<div style=\"height:12px\" aria-hidden=\"true\" class=\"wp-block-spacer\"><\/div>\n\n\n\n<p style=\"font-size:19px\">Finalmente, un problema que surge del trabajo anterior es la resoluci\u00f3n de ecuaciones de segundo grado. La unidad incluye una serie de tareas en las que se explora c\u00f3mo resolver este tipo de expresiones, reflexionando en cada caso en torno a diferentes t\u00e9cnicas y relacion\u00e1ndolas con el problema de la factorizaci\u00f3n. Cuando la ecuaci\u00f3n es completa, se presenta la t\u00e9cnica conocida como \u00abcompletado de cuadrados\u00bb. Adem\u00e1s, la exploraci\u00f3n conjunta de las soluciones de una ecuaci\u00f3n y los coeficientes de la variable permite reconocer patrones que facilitan averiguar las soluciones con \u00absentido algebraico\u00bb (esto constituye una aproximaci\u00f3n a las relaciones de Cardano-Vieta).<\/p>\n\n\n\n<div style=\"height:7px\" aria-hidden=\"true\" class=\"wp-block-spacer\"><\/div>\n\n\n\n<h1 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\"><mark style=\"background-color: rgba(0, 0, 0, 0);color:#067ca7\" class=\"has-inline-color\">\u00bfQuieres saber m\u00e1s sobre las propuestas did\u00e1cticas de Math Bits?<\/mark><\/h1>\n\n\n\n<p style=\"font-size:19px\">Si est\u00e1s interesado en conocer una propuesta pedag\u00f3gica altamente motivadora para tus estudiantes, basada en la investigaci\u00f3n y el descubrimiento guiados, ponte en contacto con nosotros y te daremos acceso a las primeras unidades de muestra.<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-buttons is-content-justification-center is-layout-flex wp-container-core-buttons-is-layout-16018d1d wp-block-buttons-is-layout-flex\">\n<div class=\"wp-block-button\"><a class=\"wp-block-button__link has-background has-text-align-center wp-element-button\" href=\"https:\/\/math-bits.es\/mb\/es\/descubre-math-bits\/?utm_source=istf&amp;utm_medium=post&amp;utm_campaign=polinomios-y-funciones\" style=\"background-color:#067ca7\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\"><strong><mark class=\"has-inline-color has-white-color\" style=\"background-color: rgba(0, 0, 0, 0);\">QUIERO M\u00c1S INFORMACI\u00d3N<\/mark><\/strong><\/a><\/div>\n<\/div>\n\n\n\n<div style=\"height:45px\" aria-hidden=\"true\" class=\"wp-block-spacer\"><\/div>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-text-color has-alpha-channel-opacity has-background\" style=\"background-color:#0071a1;color:#0071a1\"\/>\n\n\n\n<h5 class=\"wp-block-heading\"><strong>Referencias<\/strong><\/h5>\n\n\n\n<p>Bednarz, N., Kieran, C., y Lee, L. (1996). <em>Approaches to algebra<\/em>. Dordrecht, Pa\u00edses Bajos: Kluwer Academic Publishers.<\/p>\n\n\n\n<p>Drijvers, P. (Ed.). (2011). <em>Secondary algebra education: Revisiting topics and themes and exploring the unknown<\/em>. Rotterdam, Pa\u00edses Bajos: SensePublishers.<\/p>\n\n\n\n<p>Kieran, C. (2020). Algebra teaching and learning. En Lerman, S.: <em>Encyclopedia of mathematics education<\/em>, 36-44. Dordrecht, Pa\u00edses Bajos: Springer Science y Business Media.<\/p>\n\n\n\n<p>Leinhardt, G., Zaslavsky, O., y Stein, M. K. (1990). Functions, graphs, and graphing: Tasks, learning, and teaching. <em>Review of Educational Research<\/em>, 60(1), 1-64.<\/p>\n\n\n\n<p>Molina, M. (2015). <em>Concepciones del \u00e1lgebra escolar<\/em>. Granada, Espa\u00f1a: Dpto. Did\u00e1ctica de la Matem\u00e1tica, Universidad de Granada.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Descubre y explora la esencia de la unidad Polinomios y funciones cuadr\u00e1ticas. 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